Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить интеграл методом прямоугольников $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$


0 Голосов
Ван Ваныч
Posted Июнь 3, 2014 by Ван Ваныч
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1132

Решить интеграл методом прямоугольников $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

Теги: метод прямоугольников, приближенное вычисление определенного интеграла

Лучший ответ


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Июнь 3, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: метод прямоугольников - приближенный метод вычисления определенного интеграла \(\int_a^bf(x)dx\).
Схема нахождения интеграла по методу прямоугольников
1. Разобьем отрезок интегрирование на \(n\) частей и найдем \(h = \frac{b-a}{3}\) - шаг разбиения отрезка.
В условии не говорится о количестве, поэтому разобьем на 3 части \([0;1],[1;2],[2,3]\). Чем больше частей (чем меньше шаг), тем точнее вычисление и тем больше трудоемкость решения. $$h = \frac{3-0}{3} = 1$$
2. Выберем точку, принадлежащую отрезку разбиения \(\xi\) и найдем значение подынтегральной функции в этой точке \(f(\xi)\).
Есть 3 метода средних прямоугольников, которые отличаются только выбором этой точки, а именно
a) метод средних прямоугольников - выбираем середины каждого отрезка
б) метод левых прямоугольников - выбираем левые границы каждого отрезка
в) метод правых прямоугольников - выбираем правые границы каждого отрезка
Т.к. в условии не сказано о методе выбора точки, применим метод правых прямоугольников.
Берем правые границы отрезков и находим значения функции в этих точках
\([0;1] \quad f(1) = \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
\([1;2] \quad f(2) = \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{2}{\sqrt{17}}\)
\([2,3] \quad f(3) = \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{3}{\sqrt{37}}\)
3. Приближенное значение интеграла будем искать по формуле \(\int_a^b f(x) = \sum_{i=1}^3hf(\xi)\).
Получаем $$ \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx \approx  1*f(1) + 1*f(2) + 1*f(3) => $$$$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx \approx \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{17}} + \frac{3}{\sqrt{37}} \approx 1.42$$
4. Анализ результата.
Данный интеграл находился при помощи формулы Ньютона-Лейбница, можно посмотреть здесь. при решении получили ответ \( \frac{1}{4}(\sqrt{37}-1) \approx 1.27 \).
Как я уже указывал, чем меньше шаг разбиения, тем точнее будет результат.