Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить интеграл методом подстановки $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$


0 Голосов
Ван Ваныч
Posted Июнь 3, 2014 by Ван Ваныч
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 947

Решить интеграл методом подстановки $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

Теги: неопределенный интеграл, метод замены переменной, найти неопределенный интеграл

Лучший ответ


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Июнь 3, 2014 by Вячеслав Моргун

Найдем интеграл: \( \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx \)
Решение: находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену \(1+4x^2 = t => 8xdx = dt \),
проведем перерасчет границ интегрирования:
нижняя граница \(x = 0 => t = 1 \)
верхняя граница \(x = 3 => t = 37 \)
подставляем в интеграл $$ \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx = \frac{1}{8}\int_{1}^{37} \frac{1}{\sqrt{t}}dt  = $$ применим формулу формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \frac{1}{8} \frac{1}{1-\frac{1}{2}}t^{1-\frac{1}{2}}|_{1}^{37} = \frac{1}{8} 2t^{\frac{1}{2}}|_{1}^{37} = $$$$ =\frac{1}{4} t^{\frac{1}{2}}|_{1}^{37} =\frac{1}{4}(\sqrt{37}-1)$$
Ответ: \( \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx =  \frac{1}{4}(\sqrt{37}-1) \)