Решить интеграл методом прямоугольников $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

Решение: метод прямоугольников - приближенный метод вычисления определенного интеграла $\int_a^bf(x)dx$.
Схема нахождения интеграла по методу прямоугольников
1. Разобьем отрезок интегрирование на $n$ частей и найдем $h = \frac{b-a}{3}$ - шаг разбиения отрезка.
В условии не говорится о количестве, поэтому разобьем на 3 части $[0;1],[1;2],[2,3]$. Чем больше частей (чем меньше шаг), тем точнее вычисление и тем больше трудоемкость решения. $$h = \frac{3-0}{3} = 1$$
2. Выберем точку, принадлежащую отрезку разбиения $\xi$ и найдем значение подынтегральной функции в этой точке $f(\xi)$.
Есть 3 метода средних прямоугольников, которые отличаются только выбором этой точки, а именно
a) метод средних прямоугольников - выбираем середины каждого отрезка
б) метод левых прямоугольников - выбираем левые границы каждого отрезка
в) метод правых прямоугольников - выбираем правые границы каждого отрезка
Т.к. в условии не сказано о методе выбора точки, применим метод правых прямоугольников.
Берем правые границы отрезков и находим значения функции в этих точках
$[0;1] \quad f(1) = \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$[1;2] \quad f(2) = \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{2}{\sqrt{17}}$
$[2,3] \quad f(3) = \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{3}{\sqrt{37}}$
3. Приближенное значение интеграла будем искать по формуле $\int_a^b f(x) = \sum_{i=1}^3hf(\xi)$.
Получаем $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx \approx  1*f(1) + 1*f(2) + 1*f(3) =>$$ $$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx \approx \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{17}} + \frac{3}{\sqrt{37}} \approx 1.42$$
4. Анализ результата.
Данный интеграл находился при помощи формулы Ньютона-Лейбница, можно посмотреть здесь. при решении получили ответ $\frac{1}{4}(\sqrt{37}-1) \approx 1.27$.
Как я уже указывал, чем меньше шаг разбиения, тем точнее будет результат.