Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить площадь фигур, ограниченных заданными линиями $$ y=-x^2-2x+3, y=0$$


0 Голосов
Ван Ваныч
Posted Июнь 3, 2014 by Ван Ваныч
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1652

Вычислить площадь фигур, ограниченных заданными линиями $$ y=-x^2-2x+3, y=0$$

Теги: найти площадь фигуры ограниченную линиями, вычислить площадь плоских фигур

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Июнь 3, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y= -x^2-2x+3 \) и \( y = 0\)


Построим кривые:
1.  \( y = -x^2-2x+3 \) - уравнение параболы.
Проведем преобразование уравнения путем выделения полного квадрата  \( y = -x^2-2x+3 => y = -(x^2+2x +1-1-3) =>  \), \( y = -(x+1)^2+4  \)  получили уравнение параболы, оси которой направлены вниз с центром в точке \((-1;4)\)


2.  \( y = 0 \) - уравнение прямой, ось Ox . 
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABC\)


площадь фигуры, ограниченную кривыми


Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем  функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.


Согласно условия задачи \(y_2 =  -x^2-2x+3;  \quad y_1 = 0 \), тогда искомая площадь фигуры \(ABC\) равна $$S_{ABC} = \int_A^C(-x^2-2x+3 - 0)dx = $$ для нахождения интеграла нужно найти координаты \(x\) точек A и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} y = -x^2-2x+3 \\ y = 0 \end{cases} => \begin{cases} x_1 = -3; x_2 = 1\\ y =  0 \end{cases}  $$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{ABC} = \int_{-3}^1( -x^2-2x+3)dx =$$  Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем  $$ = -\frac{1}{3}x^3-x^2+3x|_{-3}^1 = \frac{32}{3}$$


Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \(y =  -x^2-2x+3 \) и \( y = 0 \) равна \(S_{ABC} =  \frac{32}{3}\)