Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y= -x^2-2x+3 \) и \( y = 0\)
Построим кривые:
1. \( y = -x^2-2x+3 \) - уравнение параболы.
Проведем преобразование уравнения путем выделения полного квадрата \( y = -x^2-2x+3 => y = -(x^2+2x +1-1-3) => \), \( y = -(x+1)^2+4 \) получили уравнение параболы, оси которой направлены вниз с центром в точке \((-1;4)\)
2. \( y = 0 \) - уравнение прямой, ось Ox .
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABC\)
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи \(y_2 = -x^2-2x+3; \quad y_1 = 0 \), тогда искомая площадь фигуры \(ABC\) равна $$S_{ABC} = \int_A^C(-x^2-2x+3 - 0)dx = $$ для нахождения интеграла нужно найти координаты \(x\) точек A и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} y = -x^2-2x+3 \\ y = 0 \end{cases} => \begin{cases} x_1 = -3; x_2 = 1\\ y = 0 \end{cases} $$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{ABC} = \int_{-3}^1( -x^2-2x+3)dx =$$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = -\frac{1}{3}x^3-x^2+3x|_{-3}^1 = \frac{32}{3}$$
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \(y = -x^2-2x+3 \) и \( y = 0 \) равна \(S_{ABC} = \frac{32}{3}\)
