Найдем интеграл: \( \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx \)
Решение: находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену \(1+4x^2 = t => 8xdx = dt \),
проведем перерасчет границ интегрирования:
нижняя граница \(x = 0 => t = 1 \)
верхняя граница \(x = 3 => t = 37 \)
подставляем в интеграл $$ \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx = \frac{1}{8}\int_{1}^{37} \frac{1}{\sqrt{t}}dt = $$ применим формулу формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \frac{1}{8} \frac{1}{1-\frac{1}{2}}t^{1-\frac{1}{2}}|_{1}^{37} = \frac{1}{8} 2t^{\frac{1}{2}}|_{1}^{37} = $$$$ =\frac{1}{4} t^{\frac{1}{2}}|_{1}^{37} =\frac{1}{4}(\sqrt{37}-1)$$
Ответ: \( \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx = \frac{1}{4}(\sqrt{37}-1) \)
