Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найдите первообразную функции \( f(x) = (\sqrt{4-3x})^{-1}\), график которой проходит через точку \(


1 Vote
Артем Кудашев
Posted Март 13, 2013 by Артем Кудашев
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 3796

Найдите первообразную функции \( f(x) = (\sqrt{4-3x})^{-1}\), график которой проходит через точку \( M(1;1)\).

Теги: первообразная, определенный интеграл, найти первообразную

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 13, 2013 by Вячеслав Моргун

Как известно, функция \( f(x) = (\sqrt{4-3x})^{-1} \) имеет множество первообразных, которые отличаются только величиной константы \( C\), т.е. задача сводится к нахождению первообразной, подстановкой значения точки, через которую она должна проходить и остается только найти константу \( C\). Приступим к решению. Находим первообразную $$F(x) = \int f(x) dx + C$$$$F(x) = \int  (\sqrt{4-3x})^{-1} dx => $$введем замену \( 4-3x = u => -3dx = du => dx = - \frac{1}{3} du\). Подставим $$F(x) = \int  \sqrt{4-3x})^{-1} dx = - \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}}du = - \frac{1}{3} *\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = - \frac{2}{3} *u^{\frac{1}{2}} = - \frac{2}{3}*\sqrt{4-3x}$$Первообразная равна $$F(x) =  - \frac{2}{3}*\sqrt{4-3x} + C$$первообразная проходит через точку  \( M(1;1) \), подставим ее в уравнение первообразной $$ 1 =  - \frac{2}{3}*\sqrt{4-3*1} + C => C = \frac{5}{3}$$Ответ: уравнение первообразной, проходящей через заданную точку  \( M(1;1) \)  равно \( F(x) =  - \frac{2}{3}*\sqrt{4-3x} + \frac{5}{3} \)