Решение:
Конус, осевое сечение которого является равносторонним треугольником, называется равносторонним конусом.
Цилиндр, осевое сечение которого является квадратом, называется равносторонним цилиндром.
1. Найдем объем цилиндра. Объем цилиндра находится по формуле $$V_c = S_{осн}H = \pi R^2_cH_c$$ выразим объем цилиндра через радиус окружности основания. Т.к. цилиндр равносторонний, т.е. его осевое сечение квадрат, значит высота цилиндра равна диаметру окружности основания \(H_c = 2R_c\), тогда $$V_c = \pi R^2_c*2R_c = 2\pi R^3_c$$
2. Найдем объем конуса. Объем конуса находится по формуле $$V_k = \frac{1}{3}S_{осн}H_k = \frac{1}{3}\pi R^2_kH_k$$ выразим объем конуса через радиус окружности основания. Т.к. конус равносторонний, т.е. его осевое сечение равносторонний треугольник, значит сторона конуса равна диаметру окружности основания, тогда высота конуса - высота осевого сечения, т.е. высота правильного треугольника со стороной \(a = 2R_k\) равна \(H_k = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}2R_k = \sqrt{3}R_k\), тогда $$V_k = \frac{1}{3}\pi R^2_kH_k = \frac{1}{3}\pi R^2_k\sqrt{3}R_k = \frac{1}{\sqrt{3}}\pi R^3$$
3. Найдем отношение радиусов:
Согласно условия задачи $$\frac{V_c}{V_k} =1 =>$$ подставки формулы объемов $$\frac{2\pi R^3_c}{\frac{1}{\sqrt{3}}\pi R^3_k} =1 => \frac{R^3_c}{R^3_k} = \frac{1}{2\sqrt{3}} =>$$$$\frac{R_c}{R_k} =\sqrt[3]{ \frac{1}{2\sqrt{3}}}$$
