Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Определить тип и решить дифференциальное уравнение первого порядка $$y'+x^2y-x^2=0$$


0 Голосов
BOMBOMBOM
Posted Май 16, 2014 by BOMBOMBOM
Категория: Дифференциальные уравнения
Всего просмотров: 1258

Определить тип и решить дифференциальное уравнение первого порядка  $$y'+x^2y-x^2=0$$

Теги: дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Лагранжа

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 16, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: Преобразуем уравнение в задание $$ y'+x^2y-x^2=0 => y = \frac{x^2 - y'}{x^2} => $$$$y = 1- \frac{y'}{x^2}$$ Получили диффренциальное уравнение вида $$y = f(y')x + g(y')$$ это уравнение Лагранжа. Решается уравнение такого вида путем введения параметра $$y' = \frac{dy}{dx} = p$$ получаем $$y = 1- \frac{p}{x^2} \quad (1)$$ продифференцируем обе части уравнения и учтем, что \(\frac{dy}{dx} = p => dy = pdx\)$$ pdx = -\frac{x^2dp - 2xpdx}{x^4} => pdx = -\frac{xdp - 2pdx}{x^3} =>$$$$px^3dx = -xdp + 2pdx => -px^3dx + 2pdx= xdp  => $$$$(2 - x^3)pdx= xdp => \frac{2 - x^3}{x}dx = \frac{dp}{p}$$ получили линейное уравнение с разделяющимися переменными, проинтегрируем его $$\int \frac{2 - x^3}{x}dx= \int \frac{dp}{p} => 2\ln(x) - \frac{x^3}{3} = \ln(p) - \ln(C) =>$$ после интегрирования произвольную постоянную \(C\) для удобства представил в виде \(C = -\ln(C)\), получаем $$2\ln(x) - \frac{x^3}{3} = \ln(\frac{p}{C})  =>$$ пропотенцируем обе части уравнения $$e^{2\ln(x) - \frac{x^3}{3}} = \frac{p}{C} => C\frac{x^2}{e^{ \frac{x^3}{3}}} = p =>$$ подставляем решение в (1) $$ y = 1- \frac{Cx^2e^{-\frac{x^3}{3}}}{x^2}=>$$$$y = 1+ Ce^{-\frac{x^3}{3}}$$
Ответ: \( y = C e^{-\frac{x^3}{3}} + 1 \)