Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{ \sin^4(2x)}dx\)
Решение: данный интеграл относится к интегралу от тригонометрической функции вида \( \int \sin^n(x)\cos^n(x)dx\), где \(m+n < 0\), действительно \(n = -4, m = 0 => -4+0 < 0\). Интегралы этого вида решаются методом замены \( t = tg(x)\) или \( t = ctg(x)\), в данном случае введем замену
$$t = ctg(2x) => dt = -\frac{2}{\sin^2(2x)}dx =>-\frac{1}{2} dt = \frac{1}{\sin^2(2x)}dx$$$$ ctg^2(2x) = \frac{1-\sin^2(2x)}{ \sin^2(2x)} => \sin^2(2x) = \frac{1}{1+ ctg^2(2x)}$$ подставляем $$ \int \frac{1}{ \sin^4(2x)}dx = \int \frac{1}{ \sin^2(2x) \sin^2(2x)}dx = \int \frac{2}{\sin^2(2x) \frac{1}{1+ ctg^2(2x)}}dx = $$$$ = -\int \frac{1}{2}(1+ t^2)dt = -\frac{1}{2}(t+\frac{t^3}{3}) + C$$ применяем обратную замену \( t = ctg(2x)\)$$ = -\frac{1}{2}(ctg(2x)+\frac{ctg^3(2x)}{3}) + C = -\frac{1}{6}ctg(2x)(3+ ctg^2(2x)) + C =$$$$ = -\frac{1}{6}ctg(2x)(2+ \frac{1}{\sin^2(2x)}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{1}{ \sin^4(2x)}dx =-\frac{1}{6}ctg(2x)(2+ \frac{1}{\sin^2(2x)}) + C \)
