Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{(x-1)^2(x^2+1)} \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. рассмотрим подынтегральное выражение. Представим дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2+1} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$ \frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2}{(x-1)^2(x^2+1)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2 - 2x + 1) $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} -A+B+D = 1\\ A + C -2 D = 0 \\ -A+B-2C + D = 0 \\ A + C = 0 \end{cases} => \begin{cases} B+D = 1 +A \\ -C + C -2 D = 0 \\ -A+1+A-2C = 0 \\ A =- C \end{cases} => $$$$ \begin{cases} B = \frac{1}{2} \\ D = 0 \\ C = \frac{1}{2} \\ A =- \frac{1}{2} \end{cases}$$ подставляем в (1) $$ \frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)} = -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{x }{2(x^2+1)} $$ теперь можно найти интеграл
4. Находим интеграл. $$ \int \frac{dx}{(x-1)^2(x^2+1)} = \int ( -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{x }{2(x^2+1)} )dx = $$
применяем:
формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),
формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C\) и
найдем интеграл \( \int \frac{x }{2(x^2+1)} dx = \frac{1}{4}\int \frac{1 }{x^2+1} d(x^2+1) = \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C\), получаем
$$ = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-1)^2}dx + \frac{1}{2} \int \frac{x}{x^2+1}dx =$$$$ = -\frac{1}{2}\ln(x-1) - \frac{1}{2} \frac{1}{x-1} + \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{(x-1)^2(x^2+1)} = -\frac{1}{2}\ln(x-1) - \frac{1}{2} \frac{1}{x-1} + \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C \)
