Найдем интеграл: \( \int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
Введем обозначения \( u = \ln{ \cos(x)} => du = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = - tg(x)dx\) и \( dv = \frac{1}{ \cos^2(x)}dx => v = \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx = tg(x) \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx = tg(x)\ln{ \cos(x)} + \int tg(x)tg(x)dx = \quad (1)$$
найдем интеграл $$ \int tg^2(x)dx = \int \frac{ \sin^2(x)}{ \cos^2(x)}dx = $$ применим формулу основного тригонометрического тождества \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) $$ = \int \frac{ 1 - \cos^2(x)}{ \cos^2(x)}dx = \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx - \int dx = $$ применяем формулу табличного интеграла тангенса \( \int \frac{1 }{ \cos^2(x)}dx = tg(x) + C\), получаем $$ = tg(x) - x +C$$
подставляем в (1) $$ = tg(x)\ln{ \cos(x)} + tg(x) - x +C$$
Ответ: \( \int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx = tg(x)\ln{ \cos(x)} + tg(x) - x +C \)
