Найдем интеграл: \( \int(1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}dx \)
Решение: интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 0; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = \frac{1}{4}; \quad p = \frac{1}{3}\). Проверим $$ \frac{m+1}{n} = \frac{0+1}{ \frac{1}{4}} = 4 $$ получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) $$ a+bx^n = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 3\), получили замену $$ 1+x^{ \frac{1}{4}} = t^3 => \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}dx = 3t^2dt => dx = 12(t^3-1)^3t^2dt$$Подставляем замену в интеграл $$ \int(1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}dx = \int (t^3)^{ \frac{1}{3}}12(t^3-1)^3t^2dt = $$$$ = 12 \int (t^3-1)^3t^3dt = $$ применим формулу куба разности \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\), получаем $$ = 12 \int (t^9-3t^6 + 3t^3 - 1)t^3dt = 12 \int (t^12-3t^9 + 3t^6 - t^3)dt = $$ применяем формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получим $$ = 12 [\int t^{12}dt - 3\int t^9dt + 3\int t^6dt - \int t^3dt] = $$$$ = 12[ \frac{1}{12+1}t^{12+1} - 3\frac{1}{9+1}t^{9+1} + 3\frac{1}{6+1}t^{6+1} - \frac{1}{3+1}t^{3+1}] + C =$$$$ = \frac{12}{13}t^{13} - \frac{18}{5}t^{10} + \frac{36}{7}t^{7} - 3t^{4} + C$$ применяем обратную замену \( t^3 = 1+x^{ \frac{1}{4}} => t = (1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}\), получаем $$ = \frac{12}{13}(1+x^{ \frac{1}{4}})^{ \frac{13}{3}} - \frac{18}{5}(1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{10}{3}} + $$$$ + \frac{36}{7}(1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{7}{3}} - 3(1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{4}{3}} + C $$
Ответ: \(\int(1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}dx = \frac{12}{13}(1+x^{ \frac{1}{4}})^{ \frac{13}{3}} - \frac{18}{5}(1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{10}{3}} + \) \( + \frac{36}{7}(1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{7}{3}} - 3(1+x^{ \frac{1}{4}})^{\frac{4}{3}} + C \)
