Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{2 \sin(x)-\cos(x)+5} \)
Решение: для нахождения интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку \( t = tg(\frac{x}{2}) => \) $$ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$ применяем подстановку $$ \int \frac{dx}{2 \sin(x)-\cos(x)+5} = \int \frac{1}{2 \frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+5}\frac{2}{1+t^2}dt = $$$$ = \int \frac{2}{4t-1+t^2+5+5t^2}dt = \int \frac{2}{6t^2 + 4t+4}dt = $$$$ = \int \frac{1}{3t^2 + 2t+2}dt = \int \frac{1}{3(t^2 + \frac{2}{3}t+\frac{2}{3}}dt = $$ выделяем полный квадрат в знаменателе $$ = \int \frac{1}{3(t^2 + \frac{2}{3}t+\frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{2}{3}}dt = \int \frac{1}{3(t + \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{9}}dt = $$ применяем формулу табличного интеграла арктангенса \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a}) +C\), получаем $$ = \frac{1}{3}*\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{3}} arctg( \frac{t + \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}) +C = \frac{1}{ \sqrt{5}} arctg( \frac{3t + 1}{\sqrt{5}}) +C = $$применяем обратную замену \( t = tg( \frac{x}{2}) \), получаем $$ = \frac{1}{ \sqrt{5}} arctg( \frac{3 tg(\frac{x}{2}) + 1}{\sqrt{5}}) +C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{2 \sin(x)-\cos(x)+5} = \frac{1}{ \sqrt{5}} arctg( \frac{3 tg(\frac{x}{2}) + 1}{\sqrt{5}}) +C \)
