Найдем интеграл: \( \int\frac{dx}{(x^2+1)*(x^2+x)} \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого
1. применим проведем преобразования подынтегральной функции \( \frac{1}{(x^2+1)*(x^2+x)} = \frac{1}{x(x^2+1)*(x+1)}\)
2. представим дробь в виде суммы следующих дробей \( \frac{1}{x(x^2+1)*(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1} => \quad (1) \) приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{1}{x(x^2+1)(x+1)} = \frac{A(x+1)(x^2+1) + Bx(x^2+1) + (Cx+D)x(x+1)}{x(x^2+1)(x+1)} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( 1 = A(x+1)(x^2+1) + Bx(x^2+1) + (Cx+D)x(x+1)\). Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} A = 1\\ A +B + D = 0 \\ A+C + D =0 \\ A + B + C = 0 \end{cases}=> \begin{cases} A = 1\\ B = -1-D \\ C = -1 -D \\ 1 -1 -D -1 -D = 0\end{cases}=> \begin{cases} A = 1\\ B = -\frac{1}{2} \\ C = -\frac{1}{2} \\ D = -\frac{1}{2} \end{cases}$$ подставляем в (1) \( \frac{1}{x(x^2+1)*(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)} \) , теперь можно найти интеграл $$\int\frac{dx}{(x^2+1)*(x^2+x)} = \int ( \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)})dx = $$$$ = \int \frac{1}{x}dx - \int \frac{1}{2(x+1)}dx - \int \frac{x+1}{2(x^2+1)}dx = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2}\int (\frac{x}{x^2+1} +\frac{1}{x^2+1})dx = $$$$ = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2}( \int \frac{x}{x^2+1}dx + \int \frac{1}{x^2+1}dx \quad (2)$$
найдем интеграл \( \int \frac{x}{x^2+1}dx\) введем замену \(x^2+1 = t => 2xdx = dt => xdx = \frac{1}{2}dt\), получаем \( \int \frac{x}{x^2+1}dx = \int \frac{1}{2t}dt = \frac{1}{2}\ln(t) + C = \) применим обратную замену \(t = x^2+1\), получим \( = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C\)
найдем интеграл \( \int \frac{1}{x^2+1}dx = arctg(x) +C\)
подставляем результаты в (2)
$$ = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + arctg(x)) + C $$
Ответ: \( \int\frac{dx}{(x^2+1)*(x^2+x)} = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) - \frac{1}{2} arctg(x) + C \)
