Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Дослідити функцію $$y=\frac{x^2}{2x+3}$$


0 Голосов
Лихота Павло
Posted Март 18, 2014 by Лихота Павло Романович
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 800

Дослідити функцію на екстремум, знайти проміжки спадання та зростання функції, інтервали опуклості та точку перетину.


$$y=\frac{x^2}{2x+3}$$

Теги: полное исследование функции, исследовать функцию, построить график

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 18, 2014 by Вячеслав Моргун

Исследуем функцию \( y= \frac{x^2}{2x+3} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(2x -3 \ne  0 => x \ne -\frac{3}{2} \).  ОДЗ $$D_f=(-\infty; -\frac{3}{2})  \cup ( -\frac{3}{2} ;+\infty)$$


2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва  \(x = -\frac{3}{2} \)
исследуем точку \( x= -\frac{3}{2} \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -\frac{3}{2}+0}  \frac{x^2}{2x+3} = + \infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -\frac{3}{2}-0}  \frac{x^2}{2x+3} = - \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x =  -\frac{3}{2} \) является вертикальной асимптотой.


3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) =  \frac{(-x)^2}{-2x+3} \)  функция является ни четной,  ни не четной.


4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \(   \frac{x^2}{2x+3} =  0 =>x = 0 \).  Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке  с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =0 и одну точку разрыва \(x = -\frac{3}{2} \), т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -\frac{3}{2}) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) =   \frac{(-2)^2}{2(-2)+3}  <  0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \(( -\frac{3}{2};  0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) =   \frac{(-1)^2}{2(-1)+3}  >  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((2; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{(2)^2}{2*2+3}    >  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox


5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{0^2}{2*0+3} = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке  с координатами \((0; 0)\).


6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x^2}{2x+3} )'=  \frac{2x(2x+3) - 2x^2}{(2x+3)^2}= $$$$ = \frac{4x^2+6x - 2x^2}{(2x+3)^2} = \frac{2x(x+3)}{(2x+3)^2}$$ приравняем к 0 $$ \frac{2x(x+3)}{(2x+3)^2} =0 => x_1= 0; \quad x_2 = -3 $$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этих точках
\(f(-3)=  \frac{(-3)^2}{2(-3)+3} = -3 \), получили координаты критической точки \((-3; -3)\)
\(f(0)=  \frac{0^2}{2-0+3} = 0 \), получили координаты критической точки \((0; 0)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки и одну точку \(x=-\frac{3}{2}\), в которых производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на четыре интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -3)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \( f(-4) = \frac{2(-4)(-4+3)}{(2(-4)+3)^2}  >  0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( -3; -\frac{3}{2})\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = \frac{2(-2)(-2+3)}{(2(-2)+3)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( -\frac{3}{2}; 0)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = \frac{2(-1)(-1+3)}{(2(-1)+3)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \(f(1) =  \frac{2*1(1+3)}{(2*1+3)^2}   >  0\), на этом интервале функция возрастает.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = -3\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами  \((-3; -3)\)
\(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами  \((0; 0)\)


7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{2x(x+3)}{(2x+3)^2})'= (\frac{2x^2+6x}{(2x+3)^2})' = $$$$ = \frac{(4x+6)(2x+3)^2 -4(2x^2+6x)(2x+3)}{(2x+3)^4} = 2\frac{4x^2+12x+9 -4x^2-12x}{(2x+3)^3} = $$$$ = \frac{18}{(2x+3)^3}$$ Приравняем к нулю $$  \frac{18}{(2x+3)^3} = 0 => $$ точек возможного перегиба функция не имеет. Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ
интервал \((-\infty; -\frac{3}{2})\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-2) =  \frac{18}{(2(-2)+3)^3}   < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( -\frac{3}{2};  + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{18}{(2*0+3)^3}    > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция точек перегиба не имеет.


8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x =1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{x^2}{2x+3} \)  при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x(2x+3)} = \frac{1}{2} => k= \frac{1}{2}$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ подставляем $$ \lim_{x \to +\infty}(  \frac{x^2}{2x+3} - \frac{x}{2}) = \lim_{x \to +\infty}(  \frac{2x^2 - 2x^2-3x}{2(2x+3)} ) = -\frac{3}{4}$$
Уравнение наклонной асимптоты \( y = \frac{x}{2} - \frac{3}{4}\)


Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}  \frac{x^2}{2x+3}= \infty $$
Горизонтальной асимптоты нет.
Определим, с какой стороны приближается график функции к наклонной асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty}  ( \frac{x^2}{2x+3} - ( \frac{x}{2} - \frac{3}{4})) = \lim_{x \to +\infty} \frac{9}{4(2x+3)} =  +0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty}  ( \frac{x^2}{2x+3} - ( \frac{x}{2} - \frac{3}{4})) = \lim_{x \to -\infty}  \frac{9}{4(2x+3)} =  -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу


9. График функции.