Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{x^2\sqrt{6+x^2}}dx \)
Решение: преобразуем подынтегральную функцию $$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{6+x^2}}dx = \int x^{-2}(6+x^2)^{-\frac{1}{2}} = $$ получили интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ Получили, что \( m = -2; \quad a = 6; \quad b = 1; \quad n = 2; \quad p = -\frac{1}{2}\). Пусть $$ \frac{m+1}{n}+p = \frac{-2+1}{2} - \frac{1}{2} = 1$$ получили целое число, т.е. имеет третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 6x^{-2} + 1 = t^2 => -12x^{-3}dx = 2tdt => x^{-3}dx = -\frac{1}{6}tdt$$ Подставляем в интеграл замену $$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{6+x^2}}dx = \int \frac{1}{x^2*x*\sqrt{6x^{-2}+1}}dx = \int \frac{1}{x^3*\sqrt{6x^{-2}+1}}dx = $$$$ = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{t^2}}tdt = - \frac{1}{6} \int dt = -\frac{1}{6}t +C $$ применяем обратную замену \( 6x^{-2} + 1 = t^2 => t = \sqrt{6x^{-2} + 1} = \frac{\sqrt{6 + x^2}}{x}\), получаем $$ = -\frac{1}{6}\frac{\sqrt{6 + x^2}}{x} +C$$
Ответ: \(\int \frac{1}{x^2\sqrt{6+x^2}}dx = -\frac{\sqrt{6 + x^2}}{6x} +C \)
