Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Знаходження похидної $$y = \frac{ \ln(1-x)}{x^{3}+3x-8}$$


0 Голосов
Лихота Павло
Posted Март 3, 2014 by Лихота Павло Романович
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 459

Знаходження похидної $$y = \frac{ \ln(1-x)}{x^{3}+3x-8}$$

Теги: производная функции, производная сложной функции, найти производную

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 3, 2014 by Вячеслав Моргун

Найдем производную функции: $$ y = \frac{ \ln(1-x)}{x^3+3x-8}$$
Решение: производную будем искать по формуле производной дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\), получаем $$ y' = ( \frac{ \ln(1-x)}{x^{3}+3x-8})' = \frac{(\ln(1-x))'(x^3+3x-8) - \ln(1-x)(x^3+3x-8)'}{(x^3+3x-8)^2} = \quad (1)$$ применим формулу производной логарифма \( \ln(x) = \frac{1}{x}\) и формулу производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\), получаем \( (\ln(1-x))' = \frac{1}{1-x}*(1-x)' = -\frac{1}{1-x}\).
Найдем производную многочлена \((x^3+3x-8)'\) , применим формулу производной степенной функции \( (x^a)' = ax^{a-1}\), получаем \((x^3+3x-8)' = 3x^2 + 3\). Подставляем результат в (1) $$(1) = \frac{-\frac{1}{1-x}(x^3+3x-8) - \ln(1-x)(3x^2+3)}{(x^3+3x-8)^2} = \frac{ x^3+3x-8 - 3\ln(1-x)(x^2+1)(x-1)}{(x-1)(x^3+3x-8)^2}$$
Ответ: \( y' = (\frac{ \ln(1-x)}{x^3+3x-8})' = \frac{ x^3+3x-8 - 3\ln(1-x)(x^2+1)(x-1)}{(x-1)(x^3+3x-8)^2}\)