Найдем предел функции $$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{3}(x)}{5x^{2} \sin(2x)}$$
1. Найдем предел функции в точке \(x = 0\) $$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{3}(x)}{5x^{2} \sin(2x)}= \frac{0}{0}$$получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\). Эту неопределенность можно разрешить двумя способами:
2.1 Разрешим неопределенность, используя тригонометрические преобразования и "замечательный предел"
Наличие синуса \( \sin^2(x)\) в числителе и \(x^2\) в знаменателе наталкивает на то, чтобы использовать замечательный предел \( \lim_{x \to 0}\frac{ \sin(x)}{x} = 1\). Преобразуем предел, чтобы было видно этот замечательный предел $$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{3}(x)}{5x^{2} \sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} \frac{ \sin(x)}{x} \frac{ \sin(x)}{5 \sin(2x)} =$$ Применим формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2 \sin(x)*\cos(x)\), получим $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} \frac{ \sin(x)}{x} \frac{ \sin(x)}{5*2 \sin(x) \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} \frac{ \sin(x)}{x} \frac{ 1}{10 \cos(x)} = 1*1*\frac{1}{10*1} = \frac{1}{10}$$
2.2 Применяем правило Лопиталя,
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Упростим дробь, применим формулу синуса двойного угла $$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{3}(x)}{5x^{2} \sin(2x)} = \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{3}(x)}{5x^{2} 2\sin(x)\cos(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{2}(x)}{10x^{2} \cos(x)}$$Применяем правило Лопиталя $$ = \lim_{x \to 0}\frac{(\sin^{2}(x))'}{(10x^{2} \cos(x))'} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(x)*\cos(x)}{10(2x \cos(x) - x^2*\sin(x))}$$$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{10}\frac{\sin(2x)}{2x \cos(x) - x^2*\sin(x)} = \frac{0}{0}$$ Опять получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) повторно применим правило Лопиталя $$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{10}\frac{(\sin(2x))'}{(2x \cos(x) - x^2*\sin(x))'} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{10}\frac{2\cos(2x)}{2 \cos(x) - 2x\sin(x)- 2x\sin(x) +x^2*\cos(x)} =$$$$= \frac{1}{10}\frac{2*1}{2*1 - 2*0*0- 2*0*0 +0^2*1} = \frac{1}{10} $$
Получили, что применение правила Лопиталя не всегда приводит к более простому решению.
Ответ: $$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^{3}(x)}{5x^{2} \sin(2x)} = \frac{1}{10}$$
