Находим предел $$ \lim_{x \to \infty}\frac{\cos4x-1}{x\sin2x} = $$
Для нахождения предела проведем тригонометрические преобразования, воспользуемся формулой косинуса двойного угла \(\cos(2x) = 2\cos^2x-1\), получаем $$ \lim_{x \to \infty}\frac{ 2\cos^2(2x)-1-1}{x\sin2x} = \lim_{x \to \infty}2 \frac{ \cos^2(2x)-1}{x\sin2x} = $$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^x+\cos^x = 1\) $$ \lim_{x \to \infty}2 \frac{ \cos^2(2x)-\sin^2(2x) - \cos^2(2x)}{x\sin2x} = -2 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2(2x)}{x\sin2x}$$$$= -2 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} = 0$$В числителе синус - ограниченная функция, а в знаменателе - бесконечно большая при \( x \to \infty\), поэтому предел равен нулю.
