Знайти границю функції : $$\lim_{x \to \infty}\frac{\cos4x-1}{x\sin2x}$$

Находим предел $$\lim_{x \to \infty}\frac{\cos4x-1}{x\sin2x} =$$
Для нахождения предела проведем тригонометрические преобразования, воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x-1$, получаем $$\lim_{x \to \infty}\frac{ 2\cos^2(2x)-1-1}{x\sin2x} = \lim_{x \to \infty}2 \frac{ \cos^2(2x)-1}{x\sin2x} =$$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^x+\cos^x = 1$ $$\lim_{x \to \infty}2 \frac{ \cos^2(2x)-\sin^2(2x) - \cos^2(2x)}{x\sin2x} = -2 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2(2x)}{x\sin2x}$$ $$= -2 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} = 0$$ В числителе синус - ограниченная функция, а в знаменателе - бесконечно большая при $x \to \infty$, поэтому предел равен нулю.