Обозначим через:
гипотеза \(H_1\) - изделие удовлетворяет стандарту.
гипотеза \(H_2\) - изделие не удовлетворяет стандарту.
Эти гипотезы единственно возможные и несовместны.
Согласно условия \(P(H_1) = 0.96\) $$P(H_1)+ P(H_2) = 1 => P(H_2) = 1 - P(H_1) = 1-0.96=0.04$$
Обозначим через \(A\) событие - изделие будет признано при проверке стандартным.
Согласно условия \(P(A|H_1) = 0.98\), а \(P(A|H_2) = 0.05\).
необходимо найти условную вероятность того, что изделие, признанное стандартным, действительно удовлетворяет стандарту, т.е. нужно найти вероятность \(P(H_1|A)\).
Согласно теоремы гипотез, вероятность гипотезы после испытания равна $$P(H_i|A) = \frac{P(H_i)P(A|H_i)}{ \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A|H_i)}$$
Подставляем в формулу данные задачи $$P(H_1|A) = \frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2)} = \frac{0.96*0.98}{0.96*0.98+0.04*0.05} = 0.998$$
Ответ: вероятность того что изделие прошедшее контроль отвечает стандарту равна \(P(H_1|A) = 0.998\)
