Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Упростить $$\sin^6a+\cos^6a+3\sin^2a\cos^2a$$


0 Голосов
Кулешов Д
Posted Декабрь 10, 2013 by Кулешов Д
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 2619

Упростить тригонометрическое выражение $$\sin^6a+\cos^6a+3\sin^2a\cos^2a$$

Теги: упростить тригонометрическое выражение, ЕГЭ, ЗНО

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 10, 2013 by Вячеслав Моргун

Упростим тригонометрическое выражение $$\sin^6a+\cos^6a+3\sin^2acos^2a =  \quad (1)$$
Необходимо понижать степень, применим формулу косинуса двойного угла $$\cos2a = \cos^2a-\sin^2 = 1-2\sin^a=2\cos^2a -1$$выразим из этой формулы косинус и синус в квадрате $$\cos^2a = \frac{\cos2a +1}{2}$$$$\sin^2a = \frac{1-\cos2a }{2}$$Подставляем в (1)$$=(\frac{1-\cos2a }{2})^3+(\frac{\cos2a +1}{2})^3+3(\frac{1-\cos2a }{2})(\frac{1+\cos2a }{2})=$$вынесем за скобки \(\frac{1}{8}\) $$=\frac{1}{8}((1-\cos2a )^3+(\cos2a +1)^3+6(1-\cos2a)(1+\cos2a))=$$ Применим формулу разности квадратов $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$получим $$=\frac{1}{8}((1-\cos2a )^3+(\cos2a +1)^3+6-6\cos^22a)=$$Применим формулу куба суммы $$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ и куба разности $$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ получаем $$=\frac{1}{8}((1-3\cos2a+3\cos^22a-\cos^32a +\cos^32a +3\cos^22a+3\cos2a+1+6-6\cos^22a)=$$приведем подобные члены $$=\frac{1}{8}((1+1+6)= =1$$Ответ: \(\sin^6a+\cos^6a+3\sin^2acos^2a = 1\)