Упростим тригонометрическое выражение \sin^6a+\cos^6a+3\sin^2acos^2a = \quad (1)
Необходимо понижать степень, применим формулу косинуса двойного угла
\cos2a = \cos^2a-\sin^2 = 1-2\sin^a=2\cos^2a -1
выразим из этой формулы косинус и синус в квадрате
\cos^2a = \frac{\cos2a +1}{2}
\sin^2a = \frac{1-\cos2a }{2}
Подставляем в (1)
=(\frac{1-\cos2a }{2})^3+(\frac{\cos2a +1}{2})^3+3(\frac{1-\cos2a }{2})(\frac{1+\cos2a }{2})=
вынесем за скобки
\frac{1}{8} =\frac{1}{8}((1-\cos2a )^3+(\cos2a +1)^3+6(1-\cos2a)(1+\cos2a))=
Применим формулу
разности квадратов a^2-b^2=(a-b)(a+b)
получим
=\frac{1}{8}((1-\cos2a )^3+(\cos2a +1)^3+6-6\cos^22a)=
Применим формулу
куба суммы (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
и куба разности
(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
получаем
=\frac{1}{8}((1-3\cos2a+3\cos^22a-\cos^32a +\cos^32a +3\cos^22a+3\cos2a+1+6-6\cos^22a)=
приведем подобные члены
=\frac{1}{8}((1+1+6)= =1
Ответ:
\sin^6a+\cos^6a+3\sin^2acos^2a = 1