Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Выразите \(|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)|\) через a,если \(\sin(\alpha)+\cos(\alpha) = a\)


0 Голосов
Кулешов Д
Posted Декабрь 10, 2013 by Кулешов Д
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1495

Выразите \(|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)|\)  через a,если \(\sin(\alpha)+\cos(\alpha) = a\)
1)  \( \sqrt{а^2-2}\)
2) \( \sqrt{2-a^2}\)
3)  \(2-a^2\)
4) \(-\sqrt{ 2-а^2}\)
5) \( \sqrt{2-а}\)

Теги: Выразить, ЕГЭ, ЗНО

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 10, 2013 by Вячеслав Моргун

Т.к. в задании синусы и косинусы, а в ответе корень, возведем в квадрат обе части выражения \(\sin(\alpha)+\cos(\alpha) = a\) и  воспользуемся формулой основного тригонометрического тождества $$(\sin(\alpha)+\cos(\alpha))^2 = a^2 =>  \sin^2(\alpha)+ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) +\cos^2(\alpha) = a^2 => $$$$  1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = a^2 =>  2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = a^2 - 1$$Возведем в квадрат выражение $$(|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)|)^2 = \sin^2(\alpha)- 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) +\cos^2(\alpha)= 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) =$$ подставляем в полученную формулу выражение \( 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = a^2 - 1\), получаем $$= 1 - (a^2 - 1) = 2-a^2$$Получили $$(|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)|)^2 = 2-a^2 $$возьмем корень из правой и левой части равенства $$|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)| = \pm \sqrt{2-a^2} $$ т.к. в левой части равенства стоит модуль, т.е. число всегда положительное, а в правой части равенства корень, тоже всегда положительное число, то в ответом задания будет $$|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)| = \sqrt{2-a^2} $$
Ответ: \(|\sin(\alpha) - \cos(\alpha)| = \sqrt{2-a^2} \)