Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти предел $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}$$


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 27, 2013 by Вячеслав Моргун
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1079

Найти предел $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}$$

Теги: предел функции, правило Лопиталя, второй замечательный предел

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 27, 2013 by Вячеслав Моргун

Найдем предел $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}$$ найдем значение функции в заданной точке $$= (1-\frac{3}{\infty})^{2\infty} = 1^{\infty}$$Для нахождения предела применим метод логарифмирования, т.е. применим основное логарифмическое тождество $$a^{log_ax}=x$$Преобразуем функцию $$\lim_{x \to \infty}e^{\ln(1-\frac{3}{x})^{2x}}=$$Воспользуемся свойством логарифма степени \(\log_ab^c=c\log_ab\) получим $$\lim_{x \to \infty}e^{2x\ln(1-\frac{3}{x})} = e^{\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x})} \quad (1)$$т.к. необходимо найти предел и подставить его в (1) $$\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x}) = $$ находим значение функции в заданной точке $$ = 2(\infty)\ln(1-\frac{3}{\infty}) = \infty * 0$$Приведем указанный предел к неопределенности вида \(\frac{0}{0}\) и применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x}) =2 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}} = \frac{\infty}{\infty} $$ можно применять правило Лопиталя $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ применяем $$ =2 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}} = 2 \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln(1-\frac{3}{x}))'}{(\frac{1}{x})'}=$$$$= 2 \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{3}{x}}*(1-\frac{3}{x})'}{-\frac{1}{x^2}}=2 \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{3}{x}}*\frac{3}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=-2 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{3}{x}}*3=-6$$ Подставляем полученное решение в (1), получаем $$\lim_{x \to \infty}e^{2x\ln(1-\frac{3}{x})} = e^{-6}=\frac{1}{e^6}$$Ответ: $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}=\frac{1}{e^6}$$