Применим признак Лейбница для исследования на сходимость знакопеременного ряда: если \(a_n=(-1)^nb_n, b_n>0\) и последовательность \(b_n\) начиная с некоторого номера \(n_0\) монотонно стремится к нулю, то ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится.
Для применения признака Лейбница проведем преобразование $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n^2}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)n^2}{3^n} = (-1)*(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^2}{3^n})$$ Исследуем на сходимость ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^2}{3^n}\). В нашем случае последовательность \(a_n\) будет равна \(a_n=\frac{(-1)^{n}n^2}{3^n}\), где \(b_n=\frac{n^2}{3^n}\) - эта последовательность положительная, нужно проверить, что при \(n \to \infty\) \(b_n \to 0\). Проверяем $$\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{3^n} = \frac{\infty}{\infty}$$Получили неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\), поэтому применим правило Лопиталя $$\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{3^n} = \lim_{n \to \infty}\frac{2n}{3^n*\ln 3} =$$Опять неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\) повторно применим правило Лопиталя $$= \lim_{n \to \infty}\frac{2}{3^n*\ln^2 3} =0$$Т.о. по признаку Лейбница ряд сходится.
