Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Даны матрицы \(B = \left(\begin{array}{c}2 & 5 & 7\\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3\end{array}\right)\) и


1 Vote
Диана Волошин
Posted Октябрь 10, 2013 by Диана Волошина
Категория: Алгебра
Всего просмотров: 902

Даны матрицы \(B = \left(\begin{array}{c}2 & 5 & 7\\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3\end{array}\right)\) и \(C = \left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\ -38 & 41 & -34 \\ 27 & -29 & 24\end{array}\right)\).


Вычислите произведение матриц $$C^{N-37}B^{2N-63}C^{N-24}$$ При \(N = 711\)

Теги: матрицы, произведение матриц, степени матриц, обратные матрицы

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 10, 2013 by Вячеслав Моргун

Нужно упростить решение задачи. Как известно, матрица \(A^{-1}\) является обратной матрицей матрицы \(A\), если произведение этих матриц равно единичной матрице $$A*A^{-1} = A^{-1}A = E$$ Попробуем умножить две матрицы \(B*C\) и посмотрим, что из этого получится $$B*C =\left(\begin{array}{c}2 & 5 & 7\\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3\end{array}\right) * \left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\ -38 & 41 & -34 \\ 27 & -29 & 24\end{array}\right) = $$при умножении воспользуемся правилом умножения матриц$$=  \left(\begin{array}{c}2*1 - 5*38 + 7*27 & 6*1-3*38+4*27 & 5*1+2*38-3*27\\ -1*2+5*41-7*29 & 41 & -34 \\ 27 & -29 & 24\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$ Как и предполагалось, матрицы \(B,C\) - взаимно обратные матрицы. Воспользуемся свойством обратных матриц \((A^{-1})^{-1} = A\) , получим \(B = C^{-1} => C = B^{-1}\). Подставим это выражение в нашу формулу $$C^{N-37}B^{2N-63}C^{N-24} = C^{N-37}(C^{-1})^{2N-63}C^{N-24}$$ Выше в определение обратной матрицы я указывал, что \(A*A^{-1} = A^{-1}A=E\) запишем эту же формулу для степени матрицы  \(A^k*(A^{-1})^k = (A^{-1})^k*A^k = E\), а также применим формулу ассоциативности матриц \(A*(B*C) = (AB)*C\), получим $$C^{N-37}(С^{-1})^{2N-63}C^{N-24} = C^{N-37}(С^{-1})^{N-37}(С^{-1})^{N-26}C^{N-24}=$$$$ =E*(С^{-1})^{N-26}C^{N-24} =  (С^{-1})^{N-26}C^{N-26}*C^2 = E*C^2 = C^2$$Теперь осталось возвести матрицу \(C\)  в квадрат $$C^2 = C*C = \left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\ -38 & 41 & -34 \\ 27 & -29 & 24\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\ -38 & 41 & -34 \\ 27 & -29 & 24\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}66 & -71 & 59\\ -2514 & 2705 & -2248 \\ 1777 & -1912 & 1589\end{array}\right)$$