Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Дана матрица \(A = \left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)\). Найдите определитель ма


0 Голосов
Диана Волошин
Posted Октябрь 10, 2013 by Диана Волошина
Категория: Алгебра
Всего просмотров: 1065

Дана матрица \(A = \left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)\). Найдите определитель матрицы \(A^{N-14}\) и решите матричное уравнение \(A^{-13}X = A^{N+231}\)

Теги: решить матричное уравнение, степень матрицы

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 10, 2013 by Вячеслав Моргун

Рассмотрим матричное уравнение вида \(A*X=B\) где A и B - заданные матрицы, а X - матрица, которую необходимо найти. Если определитель матрицы \(det  A \ne 0\) отличен от нуля, то матричное уравнение имеет единственное решение $$X = A^{-1}B$$ Преобразуем заданное матричное уравнение согласно этой формулы $$A^{-13}X = A^{N+231} => X = A^{13}*A^{N+231} = $$ На матрицы распространяются все свойства степеней , т.е. \(A^m*A^n =A^{n+m} \). Применим эту формулу и получим $$ = A^{13+N+231} = A^{244+N}$$ Согласно условия задания \(N = 711\), тогда искомая матрица равна $$X = A^{955}$$ По другому эту формулу можно представить так \(\underbrace{A^{955} = A*A*A ..... *A}\\\quad \quad \quad \quad 955\) , т.е. 955 раз нужно матрицу умножить саму на себя.


Попробуем пару раз умножить матрицу и посмотрим что получится $$A^2 =\left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2 & 0\\ 0 & 2\end{array}\right)$$ продолжим возведение в степень
$$A^3 =\left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}-1 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2 & 2\\ 2 & 2\end{array}\right)$$ проделаем еще пару раз эту операцию, чтобы увидеть закономерность $$A^4 = \left(\begin{array}{c}-4 & 0\\ 0 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2^2 & 0\\ 0 & 2^2 \end{array}\right)$$$$A^5 = \left(\begin{array}{c}-4 & 4\\ 4 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2^2 & 2^2\\ 2^2 & 2^2 \end{array}\right)$$ В принципе тенденция уже понятна, но для закрепления результата получим еще пару результатов $$A^6 = \left(\begin{array}{c}-8 & 0\\ 0 & 8\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2^3 & 0\\ 0 & 2^3 \end{array}\right)$$$$A^7 = \left(\begin{array}{c}-8 & 8\\ 8 & 8\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2^3 & 2^3\\ 2^3 & 2^3 \end{array}\right)$$Вывод, если у нас степень четная \(2n\), то мы в матрице на главной диагонали получаем число 2 в степени \(n\), т.е. степень делим на 2 и получаем \(2^{\frac{2n}{2}}\), а если нечетная, то все элементы матрицы будут равны \(2^{\frac{2n-1}{2}}\). И конечно не забываем о минусе элемента \(a_{11}\). В задании мы получили степень равную \(2n = 955\), т.е. степень не четная, то степень числа 2 будет равна \(2n = 955 -1 => n = \frac{955-1}{2} = 477\) Подставим в матрицу и получим $$X = A^{955} = \left(\begin{array}{c}-2^{477} & 2^{477} \\ 2^{477} & 2^{477} \end{array}\right)$$