Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Сколько точек пересечения имеют прямые


0 Голосов
Диана Волошин
Posted Октябрь 10, 2013 by Диана Волошина
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 1747

Сколько точек пересечения имеют прямые: $$\frac{x-2}{5} = \frac{y+3}{7} = \frac{z-4}{6}$$ и $$\frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{1} = \frac{z-1}{7}$$

Теги: взаимное расположение прямых в пространстве, каноническое уравнение прямой линии

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 10, 2013 by Вячеслав Моргун

Как известно, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Если мы докажем, что прямые лежат на одной плоскости, то тогда можно рассматривать вопрос об их пересечении, если они на одной плоскости не лежат, то это будут скрещивающиеся прямые, т.е.у них однозначно нет общих точек.

Приступим к решению. Вспомним теорию. Есть две прямые \(\frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1}\) и \(\frac{x-x_2}{m_2} = \frac{y-y_2}{n_2} = \frac{z-z_2}{p_2}\), тогда необходимым и достаточным условием того, что две прямые лежат в одной плоскости является равенство 0 следующего определителя $$\left|\begin{array}{c}x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ m_1 & n_1 & p_1\\m_2& n_2 & p_2\end{array}\right| = 0$$ где \((x_1;y_1;z_1)\) - координата точки, через которую проходит первая прямая,  \((x_2;y_2;z_2)\) - координата точки, через которую проходит вторая прямая, и направляющие вектора первой и второй прямой соответственно \(s_1 = (m_1;n_1;p_1), \quad s_2 = (m_2;n_2;p_2)\). Составим это определитель $$\left|\begin{array}{c}-2-2 & 4-(-3) & 1-4\\ 5 & 7 & 6\\3& 1 & 7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}- 4& 7 & -3\\ 5 & 7 & 6\\3& 1 & 7\end{array}\right|=$$$$= -4*7*7 + 7*6*3 + 5*1*(-3) - 3*7*(-3) - 1*6*(-4) - 5*7*7 = -243$$ Получили, что определитель не равен 0, т.е. две прямые не лежат в одной плоскости,т.е. они скрещивающиеся, т.е. общих точек не имеют.