Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Cкласти рівняння площини, що проходить через дві точки \(М_1(1; -1; -2)\) і \(М_2(3; 1; 1)\) перпенд


0 Голосов
Хорук Богдан
Posted Декабрь 11, 2016 by Хорук Богдан Володимирович
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 2933

Cкласти рівняння площини, що проходить через дві точки \(М_1(1; -1; -2)\) і \(М_2(3; 1; 1)\) перпендикулярно до площини \(x-2y-3z-6=0\)

Теги: рівняння площини, паралельні площини, перпендикулярні площини

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 12, 2016 by Вячеслав Моргун

Скласти Рівняння площини, яка проходити через дві точки \(М_1 (1; -1; -2) \) і \(М_2 (3; 1; 1) \) перпендикулярно до площини \(x-2y-3z- 6 = 0 \)
Знайдемо рівняння площини \(Ax + By + Cz + D = 0  \), яка перпендикулярна площі  \(x-2y-3z-6 = 0 \).


Алгоритм рішення.


Для вирішення завдання складемо систему рівнянь і вирішимо її. Нам потрібно знайти невідомі коефіцієнти \(A; B; C \)
1. Застосуємо  рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору і отримуємо \(A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0 \)
З умови завдання відомо значення точки  \(M_1 (1; -1; -2) \), через яку проходить площа. Підставами її координати, отримаємо перше рівняння системи $$  A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0 \quad (1) $$
2. Площина (1) проходить і через другу точку,  тому підставимо координати другої точки  \(M_2 (3; 1; 1) \)  в рівняння (1)  \(A (3-1 ) + B (1 + 1) + C (1 + 2) = 0  = >  2A + 2B + 3C = 0 \)
Отримали друге рівняння для системи.
Координати двох точок використовували, залишилося застосувати властивість перпендикулярності площин.
3. Застосуємо властивість перпендикулярності двох площин.
Площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли  вектори нормалей площин перпендикулярні, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю.


Формула скалярного добутку векторів для просторових задач
Скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат  $$ \vec{a} * \vec{b} = a_x * b_x +  a_y * b_y +  a_z * b_z \quad (2) $$ тобто для перпендикулярних площин ця формула набуде вигляду $$ A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 \quad (3) $$
З рівняння площини \(x-2y-3z-6 = 0 \) отримуємо \(A_1 = 1 \quad B_1 = -2 \quad C_1 = -3 \)
З рівняння площини  \(Ax + By + Cz + D = 0 \)  отримуємо \(A_2 = A \quad B_2 = B  \quad C_2 = C \)  
Підставляємо в (3), отримуємо третє рівняння системи $$ 1 * A-2 * B-3 ​​* C = 0 $$  
4 . Складаємо систему рівнянь :  $$ \begin{cases} A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0 \\  2A + 2B + 3C = 0  \\ A-2B-3C = 0 \end {cases} => $$ Трошки спростимо. Віднімемо з рядка 2 рядок 3 $$ \begin{cases}  A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0  \\ 6B + 9C = 0 \\  A -2B-3C = 0  \end {cases} = > $$ Виразимо дві невідомі через третю $$ \begin{cases}  A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0  \\b = - \frac{3 }{2} C \\ A = 0 \end {cases} = > \begin{cases} - \frac{3}{2} C (y + 1) + C (z + 2) = 0  \\  B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0  \end {cases} = > $$ скоротимо в першому рядку \(C \) і отримаємо шукане рівняння площині $$  \begin{cases}  - \frac{3}{2} (y +1) + (z + 2) = 0  \\  B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0  \end {cases} = > \begin{cases}  -3 (y + 1) +2 (z + 2) = 0  \\  B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0  \end {cases} = > $$ $$  \begin{cases}  -3y-3 + 2z + 4 = 0  \\  B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0  \end {cases} = > \begin{cases}  -3y + 2z + 1 = 0  \\  B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0 \end {cases} $$


Відповідь:  Рівняння площини, яка проходити через точки  \(М_1 (1; -1; -2) \) і \(М_2 (3; 1; 1) \)  i перпендикулярна до площі \(x-2y-3z-6 = 0 \) є $$  -3y-3 + 2z + 4 = 0  $$


0 Голосов
Хорук Богдан
Posted Февраль 6, 2018 by Хорук Богдан Володимирович

Спасибо большое)))