Скласти Рівняння площини, яка проходити через дві точки \(М_1 (1; -1; -2) \) і \(М_2 (3; 1; 1) \) перпендикулярно до площини \(x-2y-3z- 6 = 0 \)
Знайдемо рівняння площини \(Ax + By + Cz + D = 0 \), яка перпендикулярна площі \(x-2y-3z-6 = 0 \).
Алгоритм рішення.
Для вирішення завдання складемо систему рівнянь і вирішимо її. Нам потрібно знайти невідомі коефіцієнти \(A; B; C \)
1. Застосуємо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору і отримуємо \(A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0 \)
З умови завдання відомо значення точки \(M_1 (1; -1; -2) \), через яку проходить площа. Підставами її координати, отримаємо перше рівняння системи $$ A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0 \quad (1) $$
2. Площина (1) проходить і через другу точку, тому підставимо координати другої точки \(M_2 (3; 1; 1) \) в рівняння (1) \(A (3-1 ) + B (1 + 1) + C (1 + 2) = 0 = > 2A + 2B + 3C = 0 \)
Отримали друге рівняння для системи.
Координати двох точок використовували, залишилося застосувати властивість перпендикулярності площин.
3. Застосуємо властивість перпендикулярності двох площин.
Площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли вектори нормалей площин перпендикулярні, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Формула скалярного добутку векторів для просторових задач
Скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат $$ \vec{a} * \vec{b} = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z \quad (2) $$ тобто для перпендикулярних площин ця формула набуде вигляду $$ A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 \quad (3) $$
З рівняння площини \(x-2y-3z-6 = 0 \) отримуємо \(A_1 = 1 \quad B_1 = -2 \quad C_1 = -3 \)
З рівняння площини \(Ax + By + Cz + D = 0 \) отримуємо \(A_2 = A \quad B_2 = B \quad C_2 = C \)
Підставляємо в (3), отримуємо третє рівняння системи $$ 1 * A-2 * B-3 * C = 0 $$
4 . Складаємо систему рівнянь : $$ \begin{cases} A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0 \\ 2A + 2B + 3C = 0 \\ A-2B-3C = 0 \end {cases} => $$ Трошки спростимо. Віднімемо з рядка 2 рядок 3 $$ \begin{cases} A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0 \\ 6B + 9C = 0 \\ A -2B-3C = 0 \end {cases} = > $$ Виразимо дві невідомі через третю $$ \begin{cases} A (x-1) + B (y + 1) + C (z + 2) = 0 \\b = - \frac{3 }{2} C \\ A = 0 \end {cases} = > \begin{cases} - \frac{3}{2} C (y + 1) + C (z + 2) = 0 \\ B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0 \end {cases} = > $$ скоротимо в першому рядку \(C \) і отримаємо шукане рівняння площині $$ \begin{cases} - \frac{3}{2} (y +1) + (z + 2) = 0 \\ B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0 \end {cases} = > \begin{cases} -3 (y + 1) +2 (z + 2) = 0 \\ B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0 \end {cases} = > $$ $$ \begin{cases} -3y-3 + 2z + 4 = 0 \\ B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0 \end {cases} = > \begin{cases} -3y + 2z + 1 = 0 \\ B = - \frac{3}{2} C \\ A = 0 \end {cases} $$
Відповідь: Рівняння площини, яка проходити через точки \(М_1 (1; -1; -2) \) і \(М_2 (3; 1; 1) \) i перпендикулярна до площі \(x-2y-3z-6 = 0 \) є $$ -3y-3 + 2z + 4 = 0 $$
