Рішення: визначимо взаємне розташування прямих \(l_1: \quad x + 2y + 4 = 0 \) і \( l_2: \quad x-11 = 0 \).
Прямі можуть бути колінеарними або пересічними
1. Перевіряємо прямі на колінеарність
Дві прямі називаються колінеарними, якщо вони паралельні або збігаються
Прямі \(l_1: \quad A_1x + B_1y + C_1 = 0 \) і \( l_2: \quad A_2x + B_2y + C_2 = 0 \) паралельні тоді і тільки тоді, коли відповідні коефіцієнти при невідомих в їх рівняннях пропорційні, тобто існує таке число \(\lambda \ne 0 \), що \(A_1 = \lambda A_2 \), \(B_1 = \lambda B_2 \) , але \(C_1 \ne \lambda C_2 \).
Інакше цю умову можна записати $$ l_1 || l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2} $$
Прямі \(l_1, l_2 \) збігаються тоді і тільки тоді, коли всі відповідні коефіцієнти в їх рівняннях пропорційні: \(A_1 = \lambda A_2 \), \(B_1 = \lambda B_2 \) , \(C_1 = \lambda C_2 \).
інакше цю умову можна записати $$ l_1 || l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$
Перевіряємо на колінеарність прямі \(l_1: \quad x + 2y + 4 = 0 \) і \( l_2: \quad x-11 = 0 \). $$ \frac{1}{1} \ne \frac{2}{0} \ne \frac{4}{11} $$
Висновок: прямі не є колінеарними.
2. Пересічні прямі
Необхідною і достатньою умовою перетину двох прямих \(l_1; l_2 \) є умова не колінеарності їх нормалей, або, що те ж саме, умова непропорційності коефіцієнтів при невідомих : \( \frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2} \)
Перевіряємо на колінеарність прямі \(l_1: \quad x + 2y + 4 = 0 \) і \( l_2: \quad x-11 = 0 \). $$ \frac{1}{1} \ne \frac{2}{0} $$
Висновок : прямі є пересічними.
3. Знайдемо точку перетину прямих.
Вирішимо систему рівнянь $$ \begin{cases} x + 2y + 4 = 0 \\x-11 = 0 \end{cases} = > \begin{cases} y = -7.5 \\x = 11 \end{cases} $$
Відповідь : точка перетину прямих (11; -7.5)
4. Знайдемо кут між прямими.
Рішення: обчислимо тангенс кута між прямими \(x + 2y + 4 = 0 \) і \(x-11 = 0 \).
Пересічні прямі задані своїми загальними рівняннями \(A_1x + B_1y + C_1 = 0 \), \(A_2x + B_2y + C_2 = 0 \).
Тангенс кута між прямими, рівняння яких задані загальними рівняннями, розраховується за формулою $$ tg (\phi) = | \frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2 + B_1B_2} | $$ Підставляємо значення коефіцієнтів прямих $$ tg (\phi) = | \frac{1 * 0-2 * 1}{1 * 1 + 2 * 0} | = 2 $$ Кут дорівнює $$ \phi = arctg (2) \approx 63.43 ^ 0 $$
Відповідь : кута між прямими дорівнює \(\phi \approx 63.43 ^ 0 \)
