Дано координати М(Мх, Му, Мz) , N(Nx; Ny; Nz) , P(Px; Py; Pz) та S(Sx; Sy ; Sz) вершини піраміди SMNPQ в основі якої лежить паралелограм MNPQ М(Мх, Му, Мz)=(3;-3; 1), N(Nx; Ny; Nz) =(0;-2; 1), P(Px; Py; Pz)=(-5;-6; 2), S(Sx; Sy ; Sz) =(12;-1;-7).
Знайдіть :
1. площу грані MSN
2. обєм та висоту піраміди
3. рівняння площини грані MSN
4. проекцію точки Q на площину грані NSP
5. проекцію точки M на бічне ребро SP
6. рівняння площини, яка проходить через ребро основи PQ перпендикулярно плошині грані MSN
7. рівняння площини, яка проходить через точку Q перпендикулярно плошинам граней MNS NSP
1.Знайдіть площу грані MSN
Для вирішення завдання скористаємося формулою векторного добутку векторів.
Векторний добуток двох векторів \(\vec{a} = (a_x; a_y; a_z) \) і \(\vec{b} = (b_x; b_y; b_z) \) в декартовій системі координат - це вектор, значення якого можна обчислити, використовуючи такі формули: $$ \vec{a} \times \vec{b} = \left | \begin{array} i & j & k \\a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \end{array} \right | = I (a_yb_z - a_zb_y) - j (a_xb_z - a_zb_x) + k (a_xb_y-a_yb_x) => $$$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y -a_yb_x) $$ Геометричне властивості векторного твори: Модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Таким чином площа трикутника буде дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах \(\vec{MS} \) і \(\vec{MN} \)
Запишемо координати векторів \(\vec{MS} \) і \(\vec{MN} \).
Вектори в просторі визначаються так само, як і на площині.
Вектор - це спрямований відрізок, що має початок і кінець. Тільки в просторі вектор задається трьома координатами x, y і z: \(\vec{a} (x_a; y_a; z_a) \)
Координати вектора знаходяться - з координати кінця віднімаємо координату початку \(\vec{a} = \vec{AB} (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \)
Знайдемо площу:
Для розрахунку будемо використовувати координати точок \(М(3; -3; 1), N(0; -2; 1), S(12; -1; -7)\)
\(\vec{MS} (12 -3; -1 +3; -7 -1) => \vec{MS} (9; 2; -8) \)
\(\vec{MN} (0 -3; -2 +3; 1 -1) => \vec{MN} (- 3; 1; 0) \)
Знайдемо вектора:
$$ S_{ΔMSN} = \frac{1}{2} | \vec{MS} \times \vec{MN} | => $$ Знайдемо векторний добуток \(\vec{MS} \times \vec{MN} = (2 * 0 - (- 8) * 1; (-8) * (- 3) - 9 * 0; 9 * 1-2 * (- 3)) = (8; 24; 15) \), знайдемо модуль отриманого вектора $$ | \vec{MS} \times \vec{MN} | = \sqrt{8 ^ 2 + 24 ^ 2 + 15 ^ 2} \approx 29.4 $$ тоді площа буде дорівнювати $$ S_{ΔMSN} = \frac{1}{2} | \vec{MS} \times \vec{MN} | \approx 14.7 $$
Відповідь: площа грані MSN дорівнює \( S_{ΔMSN} \approx 14.7 \)
