Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Розв'язати фінансову задачу: На депозитний рахунок вносяться сума у розмірі 27000 грн. та на початок


0 Голосов
Виктор Морозо
Posted Июнь 17, 2013 by Виктор Морозов
Категория: Экономика и Финансы
Всего просмотров: 1068

Розв'язати фінансову задачу:


На депозитний рахунок вносяться сума у розмірі 27000 грн. та на початок кожного місяця поповнюється на 550 грн.. Розрахувати, яка сума буде на рахунку через 8 ровів, якщо відсоткова ставка 12.5% річних.

Теги: фінансова задача, екзаменаційний білет, КНЕУ

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Июнь 17, 2013 by Вячеслав Моргун

Решием задачу "Типового екзаменаційного білета". Київський Національний Економічний Університет.


 Составим формулу для решения этой задачи. Обозначим сумму на депозитном счете за \(S_{депозит}\),  \(S_{вкл}(i)\) - сумма вклада, а сумму пополнения счета и проценты за пополнение за год как \(Y(i)\), где \(i\) - номер года.
1. На депозит вносится сумма 27000 грн, на которую насчитываются проценты по формуле сложного процента в течении 8 лет. - 12,5% в год. Т.е. по истечении первого года получим сумму $$S_{вкл}(1) = 27000 + 27000*0,125 = 27000*(1+0.125) = 27000*1.125$$т.о. на начало второго года на счету будет сумма вклада 27000 + проценты за год 27000*0,125 итоговую сумму я не рассчитывал, ее проще анализировать в виде 27000*1,125. По итогам второго года рассчитаем проценты от этой суммы и получим сумму на начало третьего года $$S_{вкл}(2) = S_{вкл}(1)+S_{вкл}(1)*0.125 = (27000*1.125)+(27000*1.125)*0.125 = $$$$ =(27000*1.125)*1.125 = 27000*1.125^2$$Сумму (27000*1.125) - я взял в скобки, чтобы было видно, что это сумма вклада и проценты за первый год. В итого получили, что для расчета суммы депозита необходимо сумму вклада умножить на проценты в разах роста (рост суммы вклада на 12,5% -  в 1,125 раза), а сумму вклада с процентами через 8 лет получим $$S_{вкл}(8) 27000*1.125^8$$2. Рассчитаем сумму пополнений вклада (550 грн. в месяц) и проценты по ним. Рассмотрим следующую таблицу расчета пополнения вклада и процентов на начало месяца, где \(\frac{0,125}{12}\) - процентная ставка за месяц
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline   \\ Мес &  Сумма &  Проценты & Множитель \\ \hline   \\ 2 &  550 &  0  & 0 \\ \hline \\ 3 & 550+550=2*550 & 1*550*\frac{0,125}{12} & 1  \\ \hline  \\ 4  & 2*550+550=3*550 & 2*550*\frac{0,125}{12} & 2  \\ \hline \\ 5 & 3*550+550 =4*550 & 3*550*\frac{0,125}{12} & 3 \\ \hline \\ 6 & 4*550+550 = 5*550 & 4*550*\frac{0,125}{12} & 4 \\ \hline \\ ... & ... & ...  \\ \hline \\ 13 & 11*550+550 = 13*550 & 11*550*\frac{0,125}{12}  & 11 \\ \hline\end{array}$$Из таблицы видно, что сумма пополнения депозита за первый год составила \(550*11\), а сумму процентов можно получить путем суммирования колонки проценты $$1*550*\frac{0,125}{12} + 2*550*\frac{0,125}{12} + ... +11*550*\frac{0,125}{12} = 550*\frac{0,125}{12} *(1+2+3+...11) = $$ после преобразования в скобках получили сумму множителей (1+2+3+4 ... +11 - колонка 4 в таблице), которые являются арифметической прогрессией, найдем сумму прогрессии. Как известно сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии равна \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n\), т.е. равна полусумме первого и последнего членов арифметической прогрессии умноженной на число членов прогрессии. В нашем случае \(a_1=1, a_{11}=11, n = 11 => S_{11} = \frac{1+11}{2}*11=66 \)тогда проценты за первый год будут рассчитываться по формуле $$ P(1)= 550*\frac{0,125}{12}*\frac{1+11}{2}*11 = 550*\frac{0,125}{12}*66$$Теперь мы можем рассчитать сумму пополнения депозитного счета в течение первого года и проценты, начисленные на это пополнение $$Y(1) = 550*11+550*\frac{0,125}{12}*66$$а далее мы помним формулу начисления процентов на оставшиеся 7 лет $$Y(1) =P(1)*1.125^7 = (550*11+550*\frac{0,125}{12}*66)*1,125^7$$Применим эти рассуждения для второго и последующих годов. Отличие от первого года в том, что пополнение депозита происходит с первого месяца, т.е. платежей 12 и сумма равна 550*12, а проценты также начисляются за 12 месяцев. Рассчитаем сумму членов арифметической прогрессии \(a_1=1, a_{12} = 12, n=12 => S_{12} = \frac{1+12}{2}*12=78\), подучим формулу пополнения депозита для второго года $$Y(2) = P(2) = 550*12+550*\frac{0,125}{12}*78$$а с учетом процентов за оставшиеся 6 лет получим $$Y(2)= P(2)*1,125^6 = (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*1,125^6$$аналогично для всех остальных годов $$Y(3) =P(2)*1,125^5 = (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*1,125^5$$$$-----------------------------------------------------$$$$Y(8) = P(2)*1,125^0 = P(2)*1= (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*1$$Для того, чтобы получить остаток по депозиту через 8 лет \(S_{депозит} \) нужно просуммировать все полученные суммы $$S_{депозит} = S_{вкл}(8) + Y(1) + Y(2) + Y(3) + Y(4) + Y(5) + Y(6) + Y(7) + Y(8) => $$$$ S_{депозит} = S_{вкл}(8) + D(1)*1.125^7 + D(2)*1.125^6 + D(2)*1.125^5 + D(2)*1.125^4 + D(2)*1.125^3 + $$$$ + D(2)*1.125^2 + D(2)*1.125^1 + D(2)*1 => $$ вынесем \(D(2)\) за скобки $$S_{депозит} = S_{вкл}(8) + D(1)*1.125^7 + D(2)*(1.125^6 + 1.125^5 + 1.125^4 + 1.125^3 + 1.125^2 + 1.125^1 +1) = $$в скобках получили сумму членов геометрической прогрессии при этом знаменатель прогрессии \(q = 1,125 >1 =>\) сумма членов находится по формуле \(S_n = a_1*\frac{q^n-1}{q-1}\), где \(a_1 =1, q = 1,125, n=7 \), подставляем $$= S_{вкл}(8) + Y(1)*1.125^7 + Y(2)*\frac{1,125^7-1}{1,125-1}= $$подставляем значения $$S_{депозит} = 27000*1,125^8 + (550*11+550*\frac{0,125}{12}*66)*1,125^7 + (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*\frac{1,125^7-1}{1,125-1} =>$$$$S_{депозит} = 27000*1,125^8 + 550*((11+\frac{0,125}{12}*66)*1,125^7 + (12+\frac{0,125}{12}*78)*\frac{1,125^7-1}{1,125-1}) = 156 136,10 грн$$Если в договоре о депозитном вкладе указать, что взнос в размере 27000 = 26450 + 550, т.е. первый взнос мы разбили на вклад и сумму ежемесячного пополнения, то расчет по всем годам будет одинаковым, т.е. формула упростится и примет вид $$S_{депозит} = 26450*1,125^8 + 550*(12+\frac{0,125}{12}*78)*\frac{1,125^8-1}{1,125-1} = 156 136,10 грн$$Ответ: \(S_{депозит} = 156 136,10 грн\)