Решием задачу "Типового екзаменаційного білета". Київський Національний Економічний Університет.
Составим формулу для решения этой задачи. Обозначим сумму на депозитном счете за \(S_{депозит}\), \(S_{вкл}(i)\) - сумма вклада, а сумму пополнения счета и проценты за пополнение за год как \(Y(i)\), где \(i\) - номер года.
1. На депозит вносится сумма 27000 грн, на которую насчитываются проценты по формуле сложного процента в течении 8 лет. - 12,5% в год. Т.е. по истечении первого года получим сумму $$S_{вкл}(1) = 27000 + 27000*0,125 = 27000*(1+0.125) = 27000*1.125$$т.о. на начало второго года на счету будет сумма вклада 27000 + проценты за год 27000*0,125 итоговую сумму я не рассчитывал, ее проще анализировать в виде 27000*1,125. По итогам второго года рассчитаем проценты от этой суммы и получим сумму на начало третьего года $$S_{вкл}(2) = S_{вкл}(1)+S_{вкл}(1)*0.125 = (27000*1.125)+(27000*1.125)*0.125 = $$$$ =(27000*1.125)*1.125 = 27000*1.125^2$$Сумму (27000*1.125) - я взял в скобки, чтобы было видно, что это сумма вклада и проценты за первый год. В итого получили, что для расчета суммы депозита необходимо сумму вклада умножить на проценты в разах роста (рост суммы вклада на 12,5% - в 1,125 раза), а сумму вклада с процентами через 8 лет получим $$S_{вкл}(8) 27000*1.125^8$$2. Рассчитаем сумму пополнений вклада (550 грн. в месяц) и проценты по ним. Рассмотрим следующую таблицу расчета пополнения вклада и процентов на начало месяца, где \(\frac{0,125}{12}\) - процентная ставка за месяц
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\ Мес & Сумма & Проценты & Множитель \\ \hline \\ 2 & 550 & 0 & 0 \\ \hline \\ 3 & 550+550=2*550 & 1*550*\frac{0,125}{12} & 1 \\ \hline \\ 4 & 2*550+550=3*550 & 2*550*\frac{0,125}{12} & 2 \\ \hline \\ 5 & 3*550+550 =4*550 & 3*550*\frac{0,125}{12} & 3 \\ \hline \\ 6 & 4*550+550 = 5*550 & 4*550*\frac{0,125}{12} & 4 \\ \hline \\ ... & ... & ... \\ \hline \\ 13 & 11*550+550 = 13*550 & 11*550*\frac{0,125}{12} & 11 \\ \hline\end{array}$$Из таблицы видно, что сумма пополнения депозита за первый год составила \(550*11\), а сумму процентов можно получить путем суммирования колонки проценты $$1*550*\frac{0,125}{12} + 2*550*\frac{0,125}{12} + ... +11*550*\frac{0,125}{12} = 550*\frac{0,125}{12} *(1+2+3+...11) = $$ после преобразования в скобках получили сумму множителей (1+2+3+4 ... +11 - колонка 4 в таблице), которые являются арифметической прогрессией, найдем сумму прогрессии. Как известно сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии равна \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n\), т.е. равна полусумме первого и последнего членов арифметической прогрессии умноженной на число членов прогрессии. В нашем случае \(a_1=1, a_{11}=11, n = 11 => S_{11} = \frac{1+11}{2}*11=66 \)тогда проценты за первый год будут рассчитываться по формуле $$ P(1)= 550*\frac{0,125}{12}*\frac{1+11}{2}*11 = 550*\frac{0,125}{12}*66$$Теперь мы можем рассчитать сумму пополнения депозитного счета в течение первого года и проценты, начисленные на это пополнение $$Y(1) = 550*11+550*\frac{0,125}{12}*66$$а далее мы помним формулу начисления процентов на оставшиеся 7 лет $$Y(1) =P(1)*1.125^7 = (550*11+550*\frac{0,125}{12}*66)*1,125^7$$Применим эти рассуждения для второго и последующих годов. Отличие от первого года в том, что пополнение депозита происходит с первого месяца, т.е. платежей 12 и сумма равна 550*12, а проценты также начисляются за 12 месяцев. Рассчитаем сумму членов арифметической прогрессии \(a_1=1, a_{12} = 12, n=12 => S_{12} = \frac{1+12}{2}*12=78\), подучим формулу пополнения депозита для второго года $$Y(2) = P(2) = 550*12+550*\frac{0,125}{12}*78$$а с учетом процентов за оставшиеся 6 лет получим $$Y(2)= P(2)*1,125^6 = (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*1,125^6$$аналогично для всех остальных годов $$Y(3) =P(2)*1,125^5 = (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*1,125^5$$$$-----------------------------------------------------$$$$Y(8) = P(2)*1,125^0 = P(2)*1= (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*1$$Для того, чтобы получить остаток по депозиту через 8 лет \(S_{депозит} \) нужно просуммировать все полученные суммы $$S_{депозит} = S_{вкл}(8) + Y(1) + Y(2) + Y(3) + Y(4) + Y(5) + Y(6) + Y(7) + Y(8) => $$$$ S_{депозит} = S_{вкл}(8) + D(1)*1.125^7 + D(2)*1.125^6 + D(2)*1.125^5 + D(2)*1.125^4 + D(2)*1.125^3 + $$$$ + D(2)*1.125^2 + D(2)*1.125^1 + D(2)*1 => $$ вынесем \(D(2)\) за скобки $$S_{депозит} = S_{вкл}(8) + D(1)*1.125^7 + D(2)*(1.125^6 + 1.125^5 + 1.125^4 + 1.125^3 + 1.125^2 + 1.125^1 +1) = $$в скобках получили сумму членов геометрической прогрессии при этом знаменатель прогрессии \(q = 1,125 >1 =>\) сумма членов находится по формуле \(S_n = a_1*\frac{q^n-1}{q-1}\), где \(a_1 =1, q = 1,125, n=7 \), подставляем $$= S_{вкл}(8) + Y(1)*1.125^7 + Y(2)*\frac{1,125^7-1}{1,125-1}= $$подставляем значения $$S_{депозит} = 27000*1,125^8 + (550*11+550*\frac{0,125}{12}*66)*1,125^7 + (550*12+550*\frac{0,125}{12}*78)*\frac{1,125^7-1}{1,125-1} =>$$$$S_{депозит} = 27000*1,125^8 + 550*((11+\frac{0,125}{12}*66)*1,125^7 + (12+\frac{0,125}{12}*78)*\frac{1,125^7-1}{1,125-1}) = 156 136,10 грн$$Если в договоре о депозитном вкладе указать, что взнос в размере 27000 = 26450 + 550, т.е. первый взнос мы разбили на вклад и сумму ежемесячного пополнения, то расчет по всем годам будет одинаковым, т.е. формула упростится и примет вид $$S_{депозит} = 26450*1,125^8 + 550*(12+\frac{0,125}{12}*78)*\frac{1,125^8-1}{1,125-1} = 156 136,10 грн$$Ответ: \(S_{депозит} = 156 136,10 грн\)
