Знайдемо межа : $$ \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x} $$
Рішення :
Знайдемо межу $$ \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x} = 1^{- \infty} $$ отримали невизначеність виду \(1^{\infty} \).
Дану невизначеність можна розв'язати застосовуючи метод Лопиталя і приведенням до формі другої чудової межі.
Розглянемо обидва методи:
1. Правило Лопіталя:
Проведемо перетворення $$ \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x} = e^{\lim_ {x \to \infty} \ln \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x}} = $$$$ = e^{ \lim_ {x \to \infty} (- 4x) \ln \left (\frac {x}{1 + x} \right)} = \quad (1) $$ Знайдемо окремо межу $$ \lim_ {x \to \infty } (- 4x) \ln (\frac {x}{1 + x}) = \lim_ {x \to \infty} \frac { \ln (\frac {x}{1 + x})}{\frac {1}{- 4x}} = \frac {0}{0} $$
Правило Лопіталя $$ \lim_ {x \to a} \frac {f (x)}{g (x)} = \lim_ {x \to a} \frac {f '(x)}{g' (x)} = \frac {f '(a)}{g' (a)} $$
Застосовуємо правило Лопіталя
$$ \lim_ {x \to \infty} \frac { \ln (\frac {x}{1 + x})}{\frac {1}{- 4x}} = -4 \lim_ {x \to \infty} \frac {( \ln (\frac {x}{1 + x})) '}{(\frac {1}{x})'} = $$$$ = -4 \lim_ {x \to \infty} \frac {\frac {1 + x}{x} \frac {1}{(1 + x)^2}}{- \frac { 1}{x^2}} = 4 \lim_ {x \to \infty} \frac {1 + x}{x} \frac {1}{(1 + x)^2} x^2 = 4 $$
Підставляємо відповідь в (1)
$$ = e^{ \lim_ {x \to \infty} \ln \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x}} = e^{4} $$
Відповідь: \( \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x} = e^{4} \)
2. Метод приведення до формі другої чудового межі
Запишемо другий чудовий межа $$ \lim_ {x \to \infty} (1+ f (x))^\frac {1}{f (x)} = e $$
Проведемо перетворення: $$ \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x} = \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x + 1-1}{1 + x} \right)^{- 4x} = $$$$ = \lim_ {x \to \infty} \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^{- 4x} \quad (2) $$ Отримали \(f (x) = - \frac {1}{x + 1} \), тепер в ступені ми повинні отримати дріб виду \(\frac {1}{f (x)} = - (x + 1) \),
перетворимо ступінь \(-4x = -4 (x + 1-1) = -4 (x + 1) + 4 \) підставляємо (2) $$ = \lim_ {x \to \infty} \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^{- 4 (x + 1) + 4} = $$$$ = \lim_ {x \to \infty } \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^{- 4 (x + 1)} \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^{ 4} = $$ отримали другий чудовий межа \( \lim_ {x \to \infty} \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^{- 4 ( x + 1)} = \lim_ {x \to \infty} \left ((1 - \frac {1}{1 + x})^{- (x + 1)} \right)^{ 4} = e^4 \),
підставляємо $$ = \lim_ {x \to \infty} e^4 \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^4 = e^4 \lim_ {x \to \infty} \left (1 - \frac {1}{1 + x} \right)^4 = $$$$ = e^{4} * 1 = e^4 $$
Відповідь : \( \lim_ {x \to \infty} \left (\frac {x}{1 + x} \right)^{- 4x} = e^4 \)
