Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

1. Исследовать систему линейных уравнений. 2. В случае совместности, решить систему методом Гаусса


0 Голосов
Оксана
Posted Октябрь 20, 2015 by Оксана
Категория: Алгебра
Всего просмотров: 1207

1. Исследовать систему линейных уравнений.  
2. В случае совместности, решить систему методом Гаусса.
$$ \begin{cases}2x-3y+z= -1 \\x+5y-4z= -3 \\ 4x+y-3z= -5 \\ x-y= -1 \end{cases}$$

Теги: решить систему линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 20, 2015 by Вячеслав Моргун

Решим систему уравнений $$ \begin{cases}2x-3y+z= -1 \\ x+5y-4z= -3 \\ 4x+y-3z= -5 \\ x-y= -1 \end{cases} $$ 
Методом Гаусса


1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 2& -3 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 2& -3 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0  \end{array}\left|\begin{array}{c}  -1 \\ -3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right)\)


Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду, 
для этого используем метод Гаусса. 
Прямой ход метода Гаусса.
Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1.
\((A|b) = \left(\begin{array}{c} 2& -3 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0  \end{array}\left|\begin{array}{c}  -1 \\ -3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{41} = 1 \ne 0 \). Этот элемент уже равен 1.
Из первой строки вычтем четвертую строку
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Аналогично из второй строки вычитаем четвертую, получим: 
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 6 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -2 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Из третьей строки вычитаем четвертую, умножив ее на 4, получим: 
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 6 & -4\\ 0 & 5 & -3 \\ 1 & -1& 0  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Из четвертой строки вычитаем первую,, получим: 
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 6 & -4\\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & 1& -1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 

Берем в качестве ведущего элемента \(a_{42} = 1 \ne 0\). 
Из второй строки вычитаем четвертую, умножив ее на 6, получим: 
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & 1& -1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ 4 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Из третьей строки вычитаем четвертую, умножив ее на 5, получим: 
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1& -1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ 4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Две строки 2 и 3 одинаковые, оставляем одну из них и меняем местами со строкой 4
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 1& -1 \\ 0 & 0 & 2  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Делим строку 3 на 2
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 1& -1 \\ 0 & 0 & 1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)  


3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система  совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:


4. Обратный ход метода Гаусса. 
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
Складываем вторую и третью строки
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)  
Вычитаем из первой строки третью
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 0 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  -2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)  
Складываем первую строку и вторую строку, умноженную на 2 
\( \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)  


Привели матрицу к упрощенному виду.   


Ответ: Решением системы уравнений единственное и равно  \( \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 2 \end{cases} \)
 


0 Голосов
Оксана
Posted Октябрь 21, 2015 by Оксана

Спасибо большое!