Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

1. Елементи послідовності \({a_n}\) визначені умовами: \(a_1=2, a_n=3a_{n−1}+1\). Методом математичн


0 Голосов
Олеся
Posted Октябрь 17, 2015 by Олеся
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 2847

1. Елементи послідовності \({a_n}\) визначені умовами: \(a_1=2, a_n=3a_{n−1}+1\). Методом математичної індукції довести, що \(a_n= \frac{1}{2}( 5⋅3^{n−1}−1)\) .


2. Деяка послідовність є обмеженою. Серед даних тверджень вказати правильні:


a) вона містить розбіжну підпослідовність;


b) будь-яка її підпослідовність є обмеженою;


c) довільна її підпослідовність є збіжною;


d) вона містить збіжну підпослідовність;


e) ця послідовність досягає принаймні однієї зі своїх точних граней.


Відповідь обґрунтувати (правильні твердження довести, до неправильних — навести контрприклади).


3. Описати клас послідовностей {xn}n=1 , що задовольняють умову (∃ε>0) (∃nε ) (∃n>nε ) : |xn−a|⩾ε .


Навести приклад.

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 21, 2015 by Вячеслав Моргун

Члени послідовності \(a_n \) визначені умовами \(a_1 = 2 \) і \(a_n = 3a_ {n-1} +1 \quad (1) \)
Доведемо методом математичної індукції формулу \(a_n \) члена послідовності $$ a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \quad (2) $$


Алгоритм доказу методом математичної індукції 


складається з 3-х кроків.


Розглянемо докладно:


1 -й крок . Перевіряємо істинність твердження при \(n = 2 \), тобто перевіримо істинність формули (2) для члена послідовності \(a_2 \).
Підставляємо у формулу \(n = 2 \) і переконаємося в цьому
Розрахуємо член послідовності для формули (1) \(a_n = 3a_ {n-1} +1 \) при відомому значенні члена \( a_1 = 2 \)
\(a_2 = 3a_ {2-1} +1 = 3a_ {1} +1 = 3 * 2 + 1 = 7 \)


Розрахуємо член послідовності для формули (2) \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \) при відомому значенні члена \(a_1 = 2 \) і порівняємо його з членом \(a_2 \), отриманим за формулою (1)
\(a_2 = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ { 2-1} -1) = 7 \)


Отримали рівність членів \(a_2 = 7 \), для формул (1) і (2).


Можна перевірити формули для члена \(a_3 \)(для методу одна перевірка достатня, друга перевірка потрібна тільки для контролю) 
Розрахуємо член послідовності для формули (2) \(a_n = 3a_ {n-1} + 1 \) при відомому значенні члена \(a_2 = 7 \)


\(a_3 = 3a_ {3-1} +1 = 3a_ {2} +1 = 3 * 7 + 1 = 22 \) 


Розрахуємо член послідовності для формули (2) \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \) при відомому значенні члена \( a_2 = 7 \)
\(a_3 = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {3-1} -1) = 22 \)


Отримали рівність членів \(a_3 = 22 \), отриманих по обидва формулами (1) і (2).
Знову отримали справжнє рівність (так і повинно було бути, ми ж доводимо істинність для будь-якого \(n \)). Тепер пора переходити до другого кроку.


2 - й крок. Припустимо (вважатимемо), що член послідовності \(a_n = 3a_ {n-1} +1 \) дорівнює члену, розрахований за формулою, \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ { n-1} -1) \).


3-й крок . Необхідно довести істинність рівності членів при \(n = n + 1 \). Якщо ми доведемо рівність, то це означатиме істинність формули (2) для будь-якого \(n \). Підставами \(n = n + 1 \) член послідовності в формулу (1) і (2) отримуємо $$ a_ {n + 1} = 3a_ {n} +1 \quad (3) $$ $$ a_ {n + 1} = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n} -1) \quad (4) $$
Проведемо перетворення формули (3) так, щоб отримати формулу (4)
Скористаємося формулою \(n \) - го члена послідовності \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \), яку ми вважаємо істинною (див. крок 2) і підставимо її в (3) $$ a_ {n + 1} = 3a_ {n} +1 = 3 \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) +1 = $$$$ = \frac {3 * 5 * 3 ^ {n-1} -3 * 1 + 2} {2} = \frac {5 * 3 ^ n -1} {2} $$ Шляхом перетворень з формули (3) отримали формулу (4), що потрібно було довести.


Формула \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \) члена послідовності визначеної умовами \(a_1 = 2 \) і \( a_n = 3a_ {n-1} +1 \) доведена методом математичної індукції.