Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить интеграл \(\int_1^e \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx\)


0 Голосов
Виктор Морозо
Posted Май 16, 2013 by Виктор Морозов
Категория: Школьная математика 9-11
Bounty: 2
Всего просмотров: 1217

Решить интеграл \(\int_1^e \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx\)

Теги: определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 16, 2013 by Вячеслав Моргун

Для решения определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $$\int_a^b f(x) \,dx = F(x) |_a^b = F(b) - F(a)$$где \(F(x)\) - первообразная функции \(f(x)\). Т.е. найдем разность значений первообразной на концах отрезка. Приступаем $$\int \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx = $$ в интеграле мы видим \(\ln(x)\), а как мы помним производная натурального логарифма равна\((\ln(x))' = \frac{1}{x}\), а так же в интеграле есть дробь \(\frac{1}{x}\). Все это указывает на то, что уместно сделать замену переменной. Введем замену \(\ln(x) = t => \frac{1}{x}dx = dt\) подставим замену в интеграл $$ = \int \frac{1}{t^2-5t+6} \,dt = $$в знаменателе получили квадратное уравнение. Выделим в знаменателе полный квадрат $$ = \int \frac{1}{(t^2-5t+\frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 6} \,dt = \int \frac{1}{(t-\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}} \,dt =$$получили табличный интеграл вида \(\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C =>\) $$= \frac{1}{2*\frac{1}{2}}\ln|\frac{(t-\frac{5}{2})-\frac{1}{2}}{(t-\frac{5}{2})+\frac{1}{2}}| + C = \ln|\frac{t-3}{t-2}| + C = $$делаем обратную замену \(t = \ln x\), получим $$= \ln|\frac{\ln x-3}{\ln x- 2}| + C$$подставляем полученную первообразную в определенный интеграл  в формулу Ньютона-Лейбница $$\int_1^e \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx =\ln|\frac{\ln x-3}{\ln x - 2}| |_1^e =$$$$ = \ln|\frac{\ln e-3}{\ln e - 2}| - \ln|\frac{\ln 1-3}{\ln 1 - 2}| = \ln|\frac{1-3}{1- 2}| - \ln|\frac{0-3}{0 - 2}| =$$$$ = \ln 2 - \ln\frac{3}{2} = \ln(\frac{2}{\frac{3}{2}}) = \ln(\frac{4}{3})$$Ответ: \(\int_1^e \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx = \ln(\frac{4}{3})\)