1. Найдем область определения функции. Областью определения будут все значения x , кроме x^2 = 4 => x = \pm 2. Т.о. областью определения D_f = \forall x \in (-\infty; -2) \cup (-2;2) \cup (2;+\infty)). Исследуем поведение функции на концах интервалов \lim_{x \to -\infty}\frac{x}{x^2-4} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{0_{-0}}{1-0} = 0_{-0}\lim_{x_{-0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{+0}-4} = \frac{-2}{0_{+0}} = -\infty\lim_{x_{+0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{-0}-4} = \frac{-2}{0_{-0}}= +\infty\lim_{x_{-0} \to 2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{-0}-4} = \frac{-2}{0_{-0}}= +\infty\lim_{x_{+0} \to 2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{+0}-4} = \frac{-2}{0_{+0}}= -\infty\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{0_{+0}}{1-0} = 0_{+0}
2. Найдем точки пересечения с осями координат Ox и Oy.
Точка пересечения с осью Ox: y = 0 => \frac{x}{x^2-4} =0 => x=0, точка пересечения с осью имеет координаты (0;0)
Точки пересечения с осью Oy: x = 0 =>y= \frac{x}{x^2-4} => y= \frac{0}{0^2-4} => y=0, точка пересечения с осью имеет координаты (0;0)
3. Исследуем функцию на четность f(-x)= \frac{-x}{(-x)^2-4} = - \frac{x}{x^2-4} = -f(x) получили, что функция нечетная, т.е. она симметричная относительно начала координат.
4.Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Необходимым условием существования экстремума является равенство первой производной 0 f'(a) = 0. Вычислим первую производную и найдем стационарные точки (точки a в которых f'(a) =0 первая производная равно 0, это могут быть кочки экстремумов и точки перегибов) y'= (\frac{x}{x^2-4})' = \frac{(x'*(x^2-4) - x*(x^2-4)')}{(x^2-4)^2} = \frac{(x^2-4 - x*2x)}{(x^2-4)^2} = -\frac{(x^2+4)}{(x^2-4)^2} приравняем первую производную к 0 y' = -\frac{(x^2+4)}{(x^2-4)^2} = 0 из уравнения видно, что x^2+4 \ne 0, т.е. первая производная ни при каких значениях x не будет равна 0, т.е. на интервалах обрасти определения не меняет свою монотонность и у нее нет экстремумов. Анализируя первую производную видно, что числитель и знаменатель на всей области допустимых значений больше 0, а знак "-" указывает, что производная всегда отрицательная. Вывод: функция убывающая на всех участках области определения.
5.Исследуем функцию на выпуклость и наличие точек перегиба. Для этого найдем вторую производную (f'(x))' = (-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2})' = -\frac{(x^2+4)'*(x^2-4)^2 - (x^2+4)*((x^2-4)^2)'}{(x^2-4)^4}==-\frac{2x*(x^2-4)^2 - (x^2+4)*2(x^2-4)*2x}{(x^2-4)^4}=-\frac{2x*((x^2-4) - 2*(x^2+4))}{(x^2-4)^3}=-\frac{2x*(x^2-4 - 2*x^2-8)}{(x^2-4)^3}=\frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3}Найдем точки перегиба. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство второй производной 0 f''(a) =0. Приравняем вторую производную к 0 \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = 0 => x=0Достаточным условием существования перегиба является изменение знака второй производной при переходе через точку f''(a). Получим знак второй производной в окрестности точки a = x= 0, слева от точки x=0 f''(-1) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{2*(-1)*((-1)^2+4)}{((-1)^2-4)^3} >0функция выпукла вниз, справа от точки x=0 f''(1) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{2*1*(1^2+4)}{(1^2-4)^3} < 0 , функция выпукла вверх. Получили, что в точке (0;0) вторая производная меняет знак с "+" на "-", т.е. эта точка является точкой перегиба.
Рассмотрим выпуклость графика функции на оставшихся интервалах
(-\infty; -2): f''(-3) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{2(-3)*((-3)^2+4)}{((-3)^2-4)^3} < 0 - функция выпукла вверх
(2; +\infty): f''(3) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{23*(3^2+4)}{(3^2-4)^3} > 0 - функция выпукла вниз
6. Найдем асимптоты графика функции. При изучении области определения функции и поведения ее на концах интервалов области определения было получено, что \lim_{x_{-0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = -\infty\lim_{x_{+0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = + \infty\lim_{x_{-0} \to 2}\frac{x}{x^2-4} = -\inftyПо определению вертикальной асимптоты: прямая x=a, является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов \lim_{x \to a_{+0}} или \lim_{x \to a_{-0}} равен +\infty или -\infty. Т.о. прямые x=-2;x=2 являются вертикальными асимптотами.
Проверим имеет ли график функции наклонную асимптоту. Найдем предел \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k где k - угловой коэффициент наклонной асимптоты (прямой). \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x^2-4}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2-4} = 0 => k = 0наклонной асимптоты график функции не имеет.
7. Построим график функции.
- наносим вертикальные асимптоты x=-2; x=2
- наносим точку пересечения с осями (0;0)
- на интервале (-\infty; -2) график асимптотически приближается к оси Ox при x \to -\infty снизу, далее монотонно убывает с выпуклостью вверх и при приближении к вертикальной асимптоты x = -2 стремится к -\infty
- на интервале (-2;2) от вертикальной асимптоты x = -2 график от +\infty монотонно убывает с выпуклостью вниз до точки (0;0), где меняет выпуклость, становится выпуклой вверх, продолжает убывать асимптотически приближаясь y \to -\infty к асимптоте x=2
- на интервале (2;+\infty) от вертикальной асимптоты x = 2 график от +\infty монотонно убывает с выпуклостью вниз, асимптотически приближаясь к оси Ox сверху
Строим график функции
