Завдання: На рисунку зображено графік функції \(y = f(x)\), визначеної на проміжку [0;11] та диференційованої на проміжку (0;11). Установіть відповідність між числом (1-4) та проміжком (А-Д), якому належить це число.
$$\begin{array}{|l|c|} \hline \\ Число & Проміжок \\
\hline \\ 1. f(8) & А \quad (-\infty; -2] \\
\hline \\ 2. f'(7) & Б \quad ( -2; -0,5] \\
\hline \\ 3. найменше \quad значення \quad функції \quad y = f(x) \\ на\quad її\quad області\quad визначення & В \quad ( -0,5; 2] \\
\hline \\ 4. \int_1^3 f(x) dx & Г \quad (2; 4] \\
\hline \\ & Д \quad (4; +\infty) \\
\hline \end{array}$$
Рішення: нанесем все вопросы задания на рис. для упрощения анализа
1. \(f(8)\) - найти значение функции в точке \(x = 8\). На графике находим значение функции при \(x = 8 => y = 3,5\)
Відповідь: \(f(8) -> [2;4)\)
2. \(f'(7)\) - найти значение производной функции в точке \(x = 7\). Геометрический смысл производной в точке - тангенс угла наклона касательной в этой точке. Из рисунка видно, что в этой точке угол равен \(0^0\), а \(\mbox{tg0}^0 = 0\)
Відповідь: \(f'(7) -> (-0,5;2]\)
3. Найменше значення функції \(y = f(x)\) на її області визначення. Наименьшее значение функции на области определения - точка с самым маленьким значением y. На графике это точка \((0;-3,5)\)
Відповідь: \( (-\infty; -2]\)
4. \(\int_1^3 f(x) dx\) - это площадь заштрихованной фигуры \(x \in [1;3]\). На графике видно, что заштрихованная площадь равна около 1, но, т.к. график находится ниже оси \(x\), то интеграл примет отрицательное значение, т.е. \(\int_1^3 f(x) dx \approx -1\)
Відповідь: \( (-2; -0,5]\)