ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 32.

Завдання: На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції $f(x) = ax^2+\frac{2b}{3}x+5$. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями $y = f(x), y=0,x=0,x=1$, дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму $a+b$

Рішення:  геометрический смысл определенного интеграла: если $f(x) \geq 0$ на отрезке [a;b], a < b, от определенный интеграл $\int_a^bf(x)dx$ равен площади криволинейной трапеции - фигуры ограниченной линиями $y = f(x), y=0,x=a,x=b$ $S = \int_a^bf(x)dx \quad (1)$
Подставляем в (1) данные задачи

$$S = \int_0^1(ax^2+\frac{2b}{3}x+5)dx =$$ применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$, а также формулу интеграла от степенной функции $\int x^axdx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C$, получаем  $$a\frac{x^3}{3}+\frac{2b}{2*3}x^2+5x|_0^1 = a\frac{x^3}{3}+\frac{b}{3}x^2+5x|_0^1 =$$ $$a\frac{1}{3}+\frac{b}{3}+5$$ Согласно условия задачи $S=21$, тогда  $$a\frac{1}{3}+\frac{b}{3}+5 = 21 => a+b = (21-5)*3 = 48$$

Відповідь:  сумма $a+b=48$.

  попереднє завдання № 31     наступне завдання № 33