Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 33.

Завдання: Через точки A і B, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать однії твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу - \(60\sqrt{2}см^2\). Визначте довжину відрізка AB (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює \(20\sqrt{30}\pi см^2\)


Рішення:  рассмотрим рисунок
 


Искомый отрезок \(AB\) - диагональ прямоугольника, полученного в результате сечения цилиндра плоскостью, которая параллельна оси цилиндра, площадь сечения по условию задачи равна \(S = AC*AD = 60\sqrt{2}\). 


Отрезок \(AB\) будем находить из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{AD^2+AC^2}\). 


Найдем стороны \(AC\) и \(AD\).
Согласно условия задачи площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{бок}  =20\sqrt{30}\pi\). Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле \(S_{бок} = 2\pi RH\) - где R - радиус окружности основания цилиндра, H - высота цилиндра \(H = AC\). Подставляем данные в формулу площади боковой поверхности $$ 2\pi R*AC = 20\sqrt{30}\pi =>  AC*R = 10\sqrt{30}$$ В полученной формуле неизвестен радиус R. Найдем его из треугольника ΔAFO по теореме Пифагора $$AF^2+FO^2=AO^2$$ где AO=R, OF=2, \(AF=\frac{1}{2}AD\), получаем $$\frac{1}{4}AD^2+4=R^2 $$
Получили три уравнения с тремя неизвестными, составим систему уравнений и найдем  \(AC\) и \(AD\) $$\begin{cases}AC*AD = 60\sqrt{2}\\AC*R = 10\sqrt{30} \\ \frac{1}{4}AD^2+4=R^2 \end{cases}=> \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}*\sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} = 10\sqrt{30} \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> $$$$ \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 6\sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} = \sqrt{15}AD \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 36\frac{1}{4}AD^2+4*36 = 15AD^2 \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> $$$$ \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 6AD^2=4*36 \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=>  \begin{cases}AC =10\sqrt{3}\\ AD=\sqrt{24} \\ R = \sqrt{10} \end{cases}$$
 


Из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{AD^2+AC^2}\) $$AB = \sqrt{(\sqrt{24})^2+(10\sqrt{3})^2} = \sqrt{24+300} = 18$$


Відповідь:  довжину відрізка \(AB=18\).


  попереднє завдання № 32     наступне завдання № 34


 

Captcha Challenge