Завдання: Розв'яжіть нерівність \(3 + \log_2x \geq 0\)
Варіант відповіді:
$$\left|\begin{array}{c}А &Б & В & Г & Д\\
[\frac{1}{8}; +\infty) & (0;\frac{1}{8}] & (-\infty; \frac{1}{8}] & [8; +\infty) & [-6; +\infty) \end{array}\right|$$
Рішення:
Решать неравенство будем двумя способами
1. Методом рационализации при решении логарифмических неравенств.
- Преобразуем неравенство к виду \( \log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x) \) $$3 + \log_2x \geq 0 => \log_2x \geq -3 => \log_2x \geq \log_22^{-3}$$
- Составим систему неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций и допишем неравенство \( (a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0 \)
$$\begin{cases} x > 0\\(2-1)(x-2^{-3}) \geq 0\end{cases} => \begin{cases} x > 0\\ x \geq 2^{-3} \end{cases}$$
Ответ: \(x \in [\frac{1}{8};+\infty)\)
2. Традиционный метод:
$$3 + \log_2x \geq 0 => \log_2x \geq \log_22^{-3} => $$т.к. основание логарифмической функции больше единицы, то эта функция возрастающая, т.е. большему значению аргумента \(x\) соответствует большее значение функции \(y\), поэтому при переходе к рассмотрению аргументов (выражений под знаком логарифма) знак неравенства остается без изменения, получаем $$x \geq 2^{-3} => x \geq \frac{1}{8}$$. При этом нужно учесть ОДЗ \(x > 0\).
Ответ: \(x \in [\frac{1}{8};+\infty)\)
Відповідь: \(А\)
