Завдання: при якому найбільшому від'ємному значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt[4]{|x| - 1} - 2x = a\) має один корінь?
Рішення: метод решения данной задачи указан в самом задании: "при якому найбільшому від'ємному значенні параметра \(a\) рівняння має один корінь", т.е. непосредственно в задании есть подсказка на нахождение функциональной зависимости \(a(x)\). Вторая подсказка - найти наибольшее значение, т.е. это прямо указывает на нахождение экстремума (максимума) функциональной зависимости \(a(x)\). Ну и последняя подсказка - как решить вопрос с модулем. В задании сказано, что \(a\) - отрицательное. Рассмотрим равенство \((\sqrt[4]{|x| - 1} - 2x = a\), область значений \(E_{\sqrt[4]{|x| - 1}} =[0; +\infty)\), т.е. этот член (уменьшаемое) всегда положительный, а второй член (вычитаемое) \(2x\) должен быть всегда положительным, чтобы разность \(a\) была отрицательная. Получили, что зависимость \(a(x)\) рассматривается только при \(x >0\). Сразу же запишем ОДЗ корня \(|x| - 1 \geq 0 => |x| \geq 1 => x \in (-\infty -1] \cup [1;+\infty)\). Вывод при нахождении точка максимума \(x \in [1;+\infty)\).Теперь можно раскрыть модуль $$\sqrt[4]{x - 1} - 2x = a$$Необходимым условием существования экстремума является равенство 0 первой производной. Находим производную и приравняем ее к 0 \(a'(x) =0\).$$a' = (\sqrt[4]{x - 1} - 2x)' = ((x - 1)^{\frac{1}{4}} - 2x)' = \frac{1}{4}(x - 1)^{\frac{1}{4}-1} - 2 = 0 =>(x - 1)^{-\frac{3}{4}} = 8 =>$$$$ (x - 1)^{\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^3 =>(x - 1)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} => $$возведем в 4 степень обе стороны равенства$$ ( (x - 1)^{\frac{1}{4}})^4 = (\frac{1}{2})^4 => x - 1 = \frac{1}{16} => x = \frac{17}{16}$$Мы нашли, что на заданном интервале есть стационарная (критическая) точка (точка максимума, минимума или точка перегиба). Однако, сделать вывод , что в данной точке есть точка максимума можно лишь на основании дополнительного исследования. Достаточным условием существования экстремума (точки максимума) является изменение знака производной при переходе через заданную точку слева с "+" на право на "-". Проверяем, возьмем две точки слева и справа от критической и найдем знак производной
1. Слева от критической точки \(x = 1+(0,1)^4\) получаем \(a'(1+(0,1)^4) = \frac{1}{4(1+(0,1)^4 - 1)^{-\frac{3}{4}}} - 2 = \frac{1}{4(0,1)^{3}} - 2 = \frac{10^3}{4} - 2 > 0\)
2. Справа от критической точки \(x = 2\) получаем \(a'(2) = \frac{1}{4(2 - 1)^{-\frac{3}{4}}} - 2 = \frac{1}{4} - 2 < 0\)
Знак производной поменялся с "+" на "-", т.е. это точка максимума. Также можно сделать вывод, что слева от точки максимума функция возрастает, а справа убывает, т.е. эта точка является еще и наибольшим значением на интервале \(x \in [1; +\infty)\), т.е. это та точка которую мы ищем.
Теперь осталось подставить полученное значение \(x\) в уравнение и найти значение функции \(a(x)\) $$a( \frac{17}{16}) = \sqrt[4]{x - 1} - 2x = \sqrt[4]{ \frac{17}{16}- 1} - 2*\frac{17}{16} = \sqrt[4]{ \frac{1}{16}} - \frac{17}{8} = \frac{1}{2} - \frac{17}{8} = -\frac{13}{8} = -1,625 $$В качестве графического доказательства правильности решения задания на рисунке я построил зависимость \(a(x) = \sqrt[4]{|x| - 1} - 2x\)
Відповідь: -1,625
Рассмотрим другие варианты этой задачи:
2. Завдання: при якому найбільшому від'ємному значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt[4]{|x| - 2} - 2x = a\) має один корінь?
Рішення: $$a(x) = \sqrt[4]{x - 2} - 2x$$ $$a'(x) = (\sqrt[4]{x - 2} - 2x)' = \frac{1}{4}*(x-2)^{-\frac{3}{4}} -2 =0 => (x - 2)^{-\frac{3}{4}} = 8 =>$$$$ (x - 2)^{\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^3 =>(x - 2)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} => $$возведем в 4 степень обе стороны равенства$$ ( (x - 2)^{\frac{1}{4}})^4 = (\frac{1}{2})^4 => x - 2 = \frac{1}{16} => x = \frac{33}{16}$$Подставим полученное значение \(x\) в уравнение и найти значение функции \(a(x)\) $$a( \frac{33}{16}) = \sqrt[4]{x - 2} - 2x = \sqrt[4]{ \frac{33}{16}- 2} - 2*\frac{33}{16} = \sqrt[4]{ \frac{1}{16}} - \frac{33}{8} = \frac{1}{2} - \frac{33}{8} = -\frac{29}{8} = -1,625 $$График функции \(a(x) =\sqrt[4]{|x| - 2} - 2x\)
Відповідь: -3,625
3. Завдання: при якому найбільшому від'ємному значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt[4]{|x| - 3} - 2x = a\) має один корінь?
Рішення: $$a(x) = \sqrt[4]{x - 3} - 2x$$ $$a'(x) = (\sqrt[4]{x - 3} - 2x)' = \frac{1}{4}*(x-3)^{-\frac{3}{4}} -2 =0 => (x - 3)^{-\frac{3}{4}} = 8 =>$$$$ (x - 3)^{\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^3 =>(x - 3)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} => $$возведем в 4 степень обе стороны равенства$$ ( (x - 3)^{\frac{1}{4}})^4 = (\frac{1}{2})^4 => x - 3 = \frac{1}{16} => x = \frac{49}{16}$$Подставим полученное значение \(x\) в уравнение и найти значение функции \(a(x)\) $$a( \frac{49}{16}) = \sqrt[4]{x - 3} - 2x = \sqrt[4]{ \frac{49}{16}- 3} - 2*\frac{49}{16} = \sqrt[4]{ \frac{1}{16}} - \frac{49}{8} = \frac{1}{2} - \frac{49}{8} = -\frac{45}{8} = -5,625 $$График функции \(a(x) =\sqrt[4]{|x| - 3} - 2x\)
Відповідь: -5,625
