Завдання: Основою піраміди є ромб, тупий кут я кого дорівнює 120°. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює 4 см.
Рішення: для решения задачи нам понадобится рисунок, нарисуем его
Согласно задания нам необходимо найти площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней. Запишем это утверждение в виде формулы $$S_{бок} = S_{ASD}+S_{ASB}+S_{BSC}+S_{DSC}$$рассмотрим более детально треугольники:
- \(ΔASD\) = \(ΔASB\) - это равные треугольники, т.к. это прямоугольные треугольники с равными катетами: \(AS\) - общий катет, а \(AD=AB\) - как стороны ромбы. Из равенства треугольников следует важный вывод - равенство гипотенуз \(SD=SB\)
- \(ΔBSC\) = \(ΔDSC\) - это равные треугольники по трем сторонам: \(BC=DC\) - как стороны ромба, \(SD=SB\) - как равные гипотенузы треугольников \(ΔASD\) и \(ΔASB\), \(SC\) - общая сторона треугольников.
Проведем секущую через отрезок \(SA\) перпендикулярно отрезку \(ВС\). Это мы сделали, чтобы получить высоту \(SM\) треугольника \(ΔDSC\) и высоту \(AM\) ромба \(ABCD\). Запишем площадь боковой поверхности с учетом введенных обозначений.
Как известно, площади равных треугольников равны, поэтому площадь боковой поверхности можно представить как: $$S_{бок} = 2*S_{ΔASD}+2*S_{ΔDSC}$$где
$$2*S_{ΔASD} = 2*\frac{1}{2}SA*AD = 4*AD$$ \(SA = 4\)
$$2*S_{ΔDSC} = 2*\frac{1}{2}SM*DC = SM*DC$$где \(AD=DC=a\) - стороны ромба
Подставляем в формулу и получаем $$S_{бок} = 4*a+a*SM$$таким образом, необходимо найти сторону ромба \(a\) и высоту треугольника \(ΔDSC\) - \(SM\). Найдем высоту \(SM\) из треугольника \(ΔSAM\). Из условия известно, что угол наклона боговой грани к основанию равен \(30^0\), т.е. угол \(\angle SMA = 30^0\), тогда катет, лежащий против угла \(30^0\) в два раза меньше гипотенузы, т.е. \(SM = 2 SA = 2*4 = 8\) или по другому \(SA = \sin 30^0*SM = \frac{1}{2}SM => SM = 2*SA = 8\).Для нахождения стороны ромба нам понадобится катет \(AM = \cos 30^0*SM = \frac{\sqrt 3}{2}*8 =4\sqrt 3\)
Ищем сторону ромба \(a\). Возвращаемся к ромбу. Согласно условия \(\angle A = 120^0\), тогда угол \(\angle D = 180^0 - 120^0 = 60^0\).
Рассмотрим \(ΔDAM\) это прямоугольный треугольник \(a = AD = \frac{AM}{\sin 60^0} = \frac{4\sqrt 3}{\frac{\sqrt 3}{2}} = 8\)
Подставляем полученные результаты в формулу площади боковой поверхности: $$S_{бок} = 4*a+a*SM = 4*8 + 8*8 = 32 + 64 = 96 см^2$$
Відповідь: 96
