Завдання: Знайдіть похідну функції \(y = x^7\ln(x)\).
Варіант відповіді:
$$\left|\begin{array}{c}А &Б & В & Г & Д\\
y' = 7x^5 & y' = 7x^6\ln(x) + x^6 & y' = x^6\ln(x) + x^6 & y' = 7x^6\ln(x) & y' = 7x\ln(x) + x^6 \end{array}\right|$$
Рішення:
Найдем производную функции \(y = x^7\ln(x)\).
1. Применим формулу интегрирования произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
$$y' = (x^7\ln(x))' = (x^7)'\ln(x) + x^7(\ln(x))' = \quad (1)$$
2. Найдем производную функции \(\ln(x)\).
Применим формулу производной логарифмической функции \((\ln(x)) = \frac{1}{x}\), подставляем в (1)
$$ = (x^7)'\ln(x) + x^7\frac{1}{x} = (x^7)'\ln(x) + x^6 \quad (2)$$
3. Найдем производную функции \(x^7\).
Применим формулу производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\), получаем \((x^7)' = 7x^6\), подставляем в (2)
$$ = 7x^6\ln(x) + x^6$$
Ответ: \(y' = (x^7\ln(x))' = 7x^6\ln(x) + x^6 \)
Відповідь: \(Б\)
