Найдем интеграл: \( \int x^5(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}dx \)
Решение: Найдем неопределенный интеграл $$ \int x^5(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}dx = $$ Это интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 5; \quad a = 1; \quad b = -1; \quad n =2; \quad p = -\frac{1}{2} \). Проверим $$ \frac{m+1}{n} = \frac{5+1}{2} = 3 \in Z$$ получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) $$ a+bx^{n} = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 1-x^2 = t^2 => x = \sqrt{1-t^2} => dx = -\frac{t}{ \sqrt{1-t^2}}dt $$ подставляем замену в интеграл $$ = - \int (1-t^2)^{ \frac{5}{2}}t^{-1}\frac{t}{ \sqrt{1-t^2}}dt = -\int (1-t^2)^2dt = $$$$ = -\int (1-2t^2+t^4)dt = -t+\frac{2}{3}t^3-\frac{1}{5}t^5 + C = $$ применяем обратную замену \(t = \sqrt{1-x^2}\), получаем $$ = -\sqrt{1-x^2}+\frac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{5}(1-x^2)^{ \frac{5}{2}} + C = $$$$ = -\frac{1}{15}\sqrt{1-x^2}( 3x^4+4x^2+8) + C$$
Ответ: \( \int x^5(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}dx = -\frac{1}{15}\sqrt{1-x^2}( 3x^4+4x^2+8) + C \)
