Решение: найдем интеграл \( \int \frac{1-\sqrt{x+1}}{1+ \sqrt[3]{x+1}}dx \).
Под знаком интеграла иррациональная функция.
Интеграл вида \(\int R(x, \sqrt[k_1]{x^p_1}, \sqrt[k_2]{x^p_2},..., \sqrt[k_n]{x^p_n})dx\), где \(k_1,p_1 .... k_n,p_n\) - натуральные числа и \(R\) - рациональная функция аргументов \(x, \sqrt[k_1]{x^p_1}, \sqrt[k_2]{x^p_2},..., \sqrt[k_n]{x^p_n}\), рационализируется методом замены \(x^t\), где \(t\) - наименьшее общее кратное показателей корней \(k_1,k_2...k_n\), эта подстановка приводит к тому, что мы избавляемся от иррациональности и находим интеграл от рациональной функции от переменной \(t\).
Находим интеграл $$ \int \frac{1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}dx = $$ рассмотрим подынтегральное выражение, нас интересуют аргументы \( \sqrt{x+1} , \sqrt[3]{x+1} \). Показатели корней равны \(k_1=2;k_2=3\). наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3 является 6.
Применяем замену \(x+1 = t^6 => dx = 6t^5dt\), получаем
$$ \int \frac{1-\sqrt{x+1}}{1+ \sqrt[3]{x+1}}dx = \int \frac{1-\sqrt{t^6}}{1+ \sqrt[3]{t^6}}6t^5dt = $$ при помощи замены подынтегральная функция была рационализирована (избавились от иррациональности)$$ = \int \frac{1-t^3}{1+ t^2}6t^5dt = 6 \int \frac{t^5-t^8}{1+ t^2}dt = \quad (1)$$ в числителе и знаменателе получили два многочлена, разделим числитель на знаменатель \( \frac{t^5-t^8}{1+ t^2} = -t^6+t^4+t^3-t^2-t+1+\frac{t-1}{t^2+1}\). поставляем в (1) $$ = 6 \int ( -t^6+t^4+t^3-t^2-t+1+\frac{t-1}{t^2+1})dt = $$$$ = -6\int t^6dt + 6\int t^4dt + 6\int t^3- 6\int t^2dt -$$$$ - 6\int tdt +6\int dt + 6\int \frac{t-1}{t^2+1}dt = $$ применяем формулу интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C\), получаем $$ = -\frac{6}{7}t^7 + \frac{6}{5}t^5 + \frac{6}{4}t^4- \frac{6}{3}t^3 - \frac{6}{2}t^2 +6t +$$$$ + 6\int \frac{t}{t^2+1}dt - 6\int \frac{1}{t^2+1}dt + C= \quad (2)$$ применим табличный интеграл арктангенса \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctrg(\frac{x}{a})+C\) и интеграл \( \int \frac{x}{x^2+a^2}dx = \ln(x^2+a^2)+C\) - это интеграл можно получить методом замены \(x^2+a^2=t^2\), подставляем в (2) $$ = -\frac{6}{7}t^7 + \frac{6}{5}t^5 + \frac{3}{2}t^4- 2t^3 - 3t^2 +6t +$$$$ + 6 \ln(t^2+1) - 6 arctg(t) + C= \quad (3)$$ применяем обратную замену \( x+1 = t^6 => t = (x+1)^{\frac{1}{6}}\), подставляем в (3) $$ = -\frac{6}{7}(x+1)^{\frac{7}{6}} + \frac{6}{5}(x+1)^{\frac{5}{6}} + \frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}- $$$$ - 2(x+1)^{\frac{1}{2}} - 3(x+1)^{\frac{1}{3}} +$$$$ +6(x+1)^{\frac{1}{6}} + 6 \ln((x+1)^{\frac{1}{3}}+1) - 6 arctg((x+1)^{\frac{1}{6}}) + C$$
Ответ: интеграл от иррациональной функции равен $$ \int \frac{1-\sqrt{x+1}}{1+ \sqrt[3]{x+1}}dx = $$$$ -\frac{6}{7}(x+1)^{\frac{7}{6}} + \frac{6}{5}(x+1)^{\frac{5}{6}} + \frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}- $$$$ - 2(x+1)^{\frac{1}{2}} - 3(x+1)^{\frac{1}{3}} +$$$$ +6(x+1)^{\frac{1}{6}} + 6 \ln((x+1)^{\frac{1}{3}}+1) - 6 arctg((x+1)^{\frac{1}{6}}) + C$$
